Transmissions de puissance : exercices corrigés Bac pro MSPC

Le pignon de 20 dents est lié au moteur : il est menant. La roue de 60 dents reçoit le mouvement : elle est menée.

On écrit la relation : $N_2 = N_1 \times \dfrac{Z_1}{Z_2}$.

On remplace : $N_2 = 1500 \times \dfrac{20}{60} = 1500 \times \dfrac{1}{3}$.

On obtient $N_2 = 500$ tr/min.

La vitesse passe de 1500 à 500 tr/min : le montage est un réducteur.

Conversion de la puissance : $P = 3\ \text{kW} = 3000$ W.

Vitesse angulaire : $\omega = \dfrac{2\pi \times 1500}{60} = 50\pi \approx 157{,}08$ rad/s.

Relation entre puissance et couple : $P = C\,\omega$, donc $C = \dfrac{P}{\omega}$.

Application : $C = \dfrac{3000}{157{,}08} \approx 19{,}10$ N·m.

On écrit $\eta = \dfrac{P_{sortie}}{P_{entrée}}$.

On remplace : $\eta = \dfrac{2{,}3}{2{,}5} = 0{,}92$.

En pourcentage : $\eta = 92\ \%$.

Pertes : $2{,}5 - 2{,}3 = 0{,}2$ kW, soit 200 W.

Ces pertes proviennent des frottements entre les dents et dans les paliers ; elles se transforment en chaleur, qui échauffe le carter et l'huile.

On additionne les dents : $Z_1 + Z_2 = 20 + 50 = 70$.

On multiplie par le module : $2 \times 70 = 140$ mm.

On divise par 2 : $a = \dfrac{140}{2} = 70$ mm.

Si l'entraxe est trop grand, les dents s'engagent mal et le contact se dégrade ; s'il est trop petit, les dents se coincent et chauffent. Dans les deux cas, le fonctionnement et le rendement en souffrent.

Premier étage : $N_{inter} = 1800 \times \dfrac{18}{54} = 600$ tr/min.

Le pignon de 15 dents est solidaire de l'arbre intermédiaire : il tourne lui aussi à 600 tr/min.

Deuxième étage : $N_{sortie} = 600 \times \dfrac{15}{60} = 150$ tr/min.

Rapport global : $\dfrac{N_{sortie}}{N_{entrée}} = \dfrac{150}{1800} = \dfrac{1}{12}$, ce qui est bien le produit $\dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{4}$.

Puissance d'entrée : $P_e = C_e\,\omega_e$. Puissance de sortie : $P_s = \eta\,P_e = C_s\,\omega_s$.

Avec $\omega_s = \dfrac{\omega_e}{4}$, on obtient $C_s = \eta \, C_e \, \dfrac{\omega_e}{\omega_s} = \eta \times 4 \times C_e$.

Application : $C_s = 0{,}95 \times 4 \times 12 = 45{,}6$ N·m.

Rapport voulu : $\dfrac{290}{1450} = \dfrac{1}{5}$.

On isole : $Z_2 = Z_1 \times \dfrac{N_1}{N_2}$.

Application : $Z_2 = 24 \times \dfrac{1450}{290} = 24 \times 5 = 120$ dents.

Un seul étage est possible : la roue est cinq fois plus grande que le pignon, ce qui reste courant. Quand le rapport d'un seul étage devient très grand, on préfère en général passer à deux étages pour limiter l'encombrement.

Vitesse théorique : $1500 \times \dfrac{20}{60} = 500$ tr/min.

Écart absolu : $500 - 480 = 20$ tr/min.

Écart relatif : $\dfrac{20}{500} \times 100 = 4\ \%$.

Le contact se fait par obstacle des dentures ⁴ : le rapport est imposé par les nombres de dents et il n'y a pas de glissement comme sur une courroie lisse. Un écart de 4 % ne vient donc pas de l'engrenage lui-même.

Première piste : mesurer la vitesse réelle du moteur, car un moteur en charge tourne un peu moins vite que sa vitesse nominale. Seconde piste : recompter les dents des deux roues, ou vérifier l'étalonnage et le positionnement du tachymètre.