Prototypage et simulation : exercices de Seconde SI

On part du modèle numérique : l'action B (modélisation en CAO du boîtier et du couvercle) vient donc en premier.

Les machines de prototypage lisent un fichier issu de la CAO : l'action E (export des fichiers) suit la modélisation.

La machine fabrique ensuite l'objet : action A (impression 3D du prototype).

Avec l'objet en main, on y place les éléments intérieurs et on teste : action C.

Les essais produisent des constats (la forme gêne, le couvercle se ferme mal, tout fonctionne) ; on peut alors trancher : action D.

Ordre final : B, E, A, C, D.

Justification : le prototype existe pour fournir des constats sur formes, ergonomie et fonctionnement afin de prendre une décision éclairée avant de fabriquer en série ¹.

Données : hauteur $H = 48\ \text{mm}$ ; épaisseur d'une couche $e = 0{,}2\ \text{mm}$.

Les deux grandeurs ont la même unité, on peut les diviser directement.

Relation : $N = \dfrac{H}{e}$.

Calcul : $N = \dfrac{48}{0{,}2} = 240$.

Vérification : $240 \times 0{,}2 = 48\ \text{mm}$, on retrouve la hauteur de départ.

Données : $N = 240$ couches ; $t_1 = 35\ \text{s}$ par couche.

Durée totale en secondes : $t = N \times t_1 = 240 \times 35 = 8\,400\ \text{s}$.

Conversion en minutes : $\dfrac{8\,400}{60} = 140\ \text{min}$.

Pour se représenter : $140\ \text{min} = 2\ \text{h}\ 20\ \text{min}$.

Ordre de grandeur cohérent : une pièce de cette taille s'imprime en quelques heures, pas en quelques secondes.

Conversion : $62\ \text{g} = \dfrac{62}{1\,000}\ \text{kg} = 0{,}062\ \text{kg}$.

Le prix est proportionnel à la masse : coût $= 0{,}062 \times 28$.

Calcul : $0{,}062 \times 28 = 1{,}736\ \text{€}$, soit environ $1{,}74\ \text{€}$.

Deux essais identiques : $2 \times 1{,}736 = 3{,}472\ \text{€}$, soit environ $3{,}47\ \text{€}$.

Vérification : $62\ \text{g}$ représente un peu plus de $6\ \%$ d'un kilogramme, donc un peu plus de $6\ \%$ de $28\ \text{€}$, soit environ $1{,}7\ \text{€}$. Le résultat est cohérent.

Volume de la boîte : $V_{boîte} = 7 \times 6 \times 5 = 210\ \text{cm}^3$.

Le modèle immergé prend une partie de ce volume : $V_{cire} = 85\ \text{cm}^3$.

Le silicone remplit le reste : $V_{silicone} = 210 - 85 = 125\ \text{cm}^3$.

Conversion : $1\ \text{cm}^3 = 1\ \text{mL}$, donc $125\ \text{cm}^3 = 125\ \text{mL}$.

Contrôle : le résultat est inférieur au volume de la boîte et positif, c'est cohérent.

Coût de l'impression directe : $C_{imp} = 4n$.

Coût du moule : $C_{moule} = 11 + 1{,}5n$ (mise en place payée une fois, puis un coût par pièce).

On cherche $C_{moule} < C_{imp}$ : $11 + 1{,}5n < 4n$.

On isole $n$ : $11 < 2{,}5n$, donc $n > \dfrac{11}{2{,}5} = 4{,}4$.

$n$ est entier : le plus petit entier strictement supérieur à $4{,}4$ est $5$.

Contrôle avec $n = 4$ : $C_{imp} = 16\ \text{€}$ et $C_{moule} = 17\ \text{€}$, l'impression gagne. Avec $n = 5$ : $C_{imp} = 20\ \text{€}$ et $C_{moule} = 18{,}5\ \text{€}$, le moule gagne.

Durées pour $n = 12$ : impression $12 \times 2{,}5 = 30\ \text{h}$ ; moule $3 + 12 \times 0{,}5 = 9\ \text{h}$. Le moule est plus de trois fois plus rapide.

Pour une seule pièce : l'impression coûte $4\ \text{€}$ et dure $2{,}5\ \text{h}$, le moule coûte $12{,}5\ \text{€}$ et dure $3{,}5\ \text{h}$. L'impression directe est préférable, car la mise en place du moule n'est pas rentabilisée.