La gravitation : exercices corrigés de 3e

On écrit la loi : $F = G\,\dfrac{m_A \times m_B}{d^2}$.

On remplace : $F = 6{,}67 \times 10^{-11} \times \dfrac{60 \times 80}{2{,}0^2}$.

On calcule le numérateur : $60 \times 80 = 4\,800$ et le dénominateur : $2{,}0^2 = 4{,}0$, donc le quotient vaut $1\,200$.

On multiplie : $F = 6{,}67 \times 10^{-11} \times 1\,200 \approx 8{,}0 \times 10^{-8}$ N.

La distance figure au carré au dénominateur de la loi ³ : $F = \dfrac{k}{d^2}$ où $k$ regroupe $G$ et les masses, qui ne changent pas.

Avec la distance $2d$, on obtient $F' = \dfrac{k}{(2d)^2} = \dfrac{k}{4d^2} = \dfrac{F}{4}$.

On calcule : $F' = \dfrac{16}{4} = 4$ N.

Le produit $m_A \times m_B$ intervient au numérateur de la loi ³.

Il devient $(3m_A) \times (3m_B) = 9\,m_A m_B$.

La distance ne change pas, donc la force est multipliée par $9$ : $F' = 5 \times 3 \times 3 = 45$ N.

On part de $F = G\,\dfrac{m_A \times m_B}{d^2}$.

On isole $m_B$ : $m_B = \dfrac{F \times d^2}{G \times m_A}$.

On remplace : $m_B = \dfrac{2{,}0 \times 10^{-7} \times 1{,}5^2}{6{,}67 \times 10^{-11} \times 50}$.

Numérateur : $2{,}0 \times 10^{-7} \times 2{,}25 = 4{,}5 \times 10^{-7}$. Dénominateur : $6{,}67 \times 10^{-11} \times 50 \approx 3{,}335 \times 10^{-9}$.

On divise : $m_B \approx 135$ kg.

On écrit la loi : $F = G\,\dfrac{m_A \times m_B}{d^2}$.

On remplace : $F = 6{,}67 \times 10^{-11} \times \dfrac{500 \times 6{,}0 \times 10^{24}}{(7{,}0 \times 10^{6})^2}$.

Numérateur : $500 \times 6{,}0 \times 10^{24} = 3{,}0 \times 10^{27}$. Dénominateur : $4{,}9 \times 10^{13}$.

On calcule : $F = 6{,}67 \times 10^{-11} \times \dfrac{3{,}0 \times 10^{27}}{4{,}9 \times 10^{13}} \approx 4{,}1 \times 10^{3}$ N.

Les deux corps s'attirent avec des forces de même valeur ³. La force du satellite sur la planète vaut donc aussi environ $4\,100$ N.

Les deux forces sont vectoriellement opposées : même direction, sens contraires ³. Leur axe commun est la droite qui passe par les centres des deux corps ³.

Pour l'élève : l'affirmation est fausse. La formule contient le produit $m_A \times m_B$, qui ne change pas si on échange les rôles. Les deux forces ont la même valeur.

Ce qui diffère, c'est l'effet : à force égale, le satellite de 500 kg est beaucoup plus facilement mis en mouvement que la planète, bien plus massive.

On part de $F = G\,\dfrac{m_A \times m_B}{d^2}$.

On isole $d^2$ : $d^2 = \dfrac{G \times m_A \times m_B}{F}$.

On remplace : $d^2 = \dfrac{6{,}67 \times 10^{-11} \times 1\,000 \times 2\,000}{1{,}0 \times 10^{-5}}$.

Numérateur : $6{,}67 \times 10^{-11} \times 2{,}0 \times 10^{6} = 1{,}334 \times 10^{-4}$. Donc $d^2 = 13{,}34$ m².

On prend la racine carrée : $d = \sqrt{13{,}34} \approx 3{,}65$ m.

Au sol, la distance entre la capsule et le centre de la Terre vaut $R$.

À l'altitude $R$, la distance au centre vaut $R + R = 2R$ : elle a doublé.

Comme dans la loi la distance intervient au carré au dénominateur ³, la force est divisée par $2^2 = 4$.

On calcule : $F' = \dfrac{800}{4} = 200$ N.