Aire et unités d'aire : exercices corrigés de 6e

On cherche une aire : on compte combien d'unités d'aire (carreaux) recouvrent la figure.²

Rangée du bas : 4 carreaux. Rangée du milieu : 4 carreaux. Rangée du haut : 2 carreaux.

On additionne : $4 + 4 + 2 = 10$.

L'aire de la figure est 10 u.a.

Périmètre de A : $2 \times (1 + 6) = 14$ u.l.²

Périmètre de B : $2 \times (3 + 4) = 14$ u.l. Les deux figures ont le même périmètre.

Aire de A : $1 \times 6 = 6$ u.a. Aire de B : $3 \times 4 = 12$ u.a.

Écart : $12 - 6 = 6$ u.a. La figure B couvre 6 u.a. de plus que la figure A.

Avec l'unité « un petit carré » : l'aire est de 12 u.a.

Avec l'unité « deux petits carrés » : on regroupe les carrés par deux, ce qui fait $12 \div 2 = 6$ u.a.

Avec l'unité « quatre petits carrés » : on les regroupe par quatre, ce qui fait $12 \div 4 = 3$ u.a.

Réponse à la question 3 : 3 u.a.

Périmètre : le carré a 4 côtés égaux, donc $4 \times 7 = 28$ cm.²

Aire : $7 \times 7 = 49$ cm².²

Justification : on peut recouvrir le carré avec 7 rangées de 7 carreaux de 1 cm de côté, soit 49 carreaux. Chaque carreau a une aire de 1 cm², donc l'aire est 49 cm².

Les deux dimensions sont dans des unités différentes (mètre et centimètre) : multiplier 3 par 50 mélangerait des unités et n'aurait pas de sens.²

On convertit : $3 \text{ m} = 3 \times 100 = 300$ cm.

Aire : $300 \times 50 = 15\,000$ cm².

L'aire du rectangle est de 15 000 cm².

Aire du grand rectangle : $8 \times 5 = 40$ cm².²

Aire du morceau enlevé : $3 \times 2 = 6$ cm².

Aire restante : $40 - 6 = 34$ cm².

Le périmètre : en suivant le contour, on remplace un coin par une encoche. Les deux côtés du coin (3 cm et 2 cm) sont remplacés par deux côtés de même longueur totale. Le périmètre reste $2 \times (8 + 5) = 26$ cm.

Périmètre de ABCD : $2 \times (2{,}5 + 6) = 2 \times 8{,}5 = 17$ cm.²

Le symétrique est obtenu par une symétrie axiale, qui conserve les périmètres et les aires.²

Le périmètre de A'B'C'D' est donc aussi 17 cm.

Son aire est la même que celle de ABCD : $2{,}5 \times 6 = 15$ cm².

Le périmètre d'un carré est $4 \times \text{côté}$.² Donc le côté vaut $36 \div 4 = 9$ cm.

Aire : $9 \times 9 = 81$ cm².

Test de l'affirmation : avec un côté doublé, 18 cm, l'aire est $18 \times 18 = 324$ cm².

On compare : $324 \div 81 = 4$. L'aire est multipliée par 4 et non par 2 : l'affirmation est fausse. L'aire du carré de départ est de 81 cm².

Le périmètre vaut $2 \times (l + L)$.² Donc $l + L = 30 \div 2 = 15$ cm.

La longueur vaut 9 cm, donc la largeur est $15 - 9 = 6$ cm.

Aire : $6 \times 9 = 54$ cm².²

Contrôle : $2 \times (6 + 9) = 30$ cm, c'est bien le périmètre donné. L'aire est de 54 cm².