Dessin de tôlerie et développés : exercices corrigés de Bac pro TCI

On calcule le diamètre moyen : $D_m = 400 + 4 = 404$ mm.

On applique la formule du périmètre : $L = \pi \times D_m = \pi \times 404$.

On calcule : $L \approx 1269{,}2$ mm.

Contrôle : $L$ est plus grand que $\pi \times 400 \approx 1256{,}6$ mm, ce qui est normal puisque la tôle a une épaisseur.

Longueur d'une aile sur la ligne moyenne : $40 - \dfrac{3}{2} = 38{,}5$ mm.

Longueur du fond sur la ligne moyenne : $100 - 3 = 97$ mm (une demi-épaisseur à chaque extrémité).

On additionne : $2 \times 38{,}5 + 97 = 174$ mm.

Contrôle : la somme des cotes extérieures est $40+100+40 = 180$ mm ; le développé est plus court, ce qui est cohérent.

Diamètre intérieur réel : $80 \times 5 = 400$ mm.

Diamètre moyen : $400 + 4 = 404$ mm (l'épaisseur n'est pas à l'échelle).

Longueur développée : $L = \pi \times 404 \approx 1269{,}2$ mm.

Contrôle : on retrouve la virole du premier exercice, ce qui valide la lecture de l'échelle.

Longueur du développé : $\pi \times 0{,}404 \approx 1{,}2692$ m.

Surface : $1{,}2692 \times 0{,}8 \approx 1{,}0154$ m².

Volume de tôle : $1{,}0154 \times 0{,}004 \approx 0{,}004061$ m³.

Masse : $0{,}004061 \times 7\,850 \approx 31{,}88$ kg.

Contrôle d'ordre de grandeur : 1 m² de tôle de 4 mm pèse environ 31 kg, ce qui colle avec le résultat.

Orientation 1 (1 269,2 mm le long de 3 000 mm) : $\lfloor 3000 / 1269{,}2 \rfloor = 2$ dans la longueur, $\lfloor 1500 / 800 \rfloor = 1$ dans la largeur, soit $2 \times 1 = 2$ pièces.

Orientation 2 (800 mm le long de 3 000 mm) : $\lfloor 3000 / 800 \rfloor = 3$ dans la longueur, $\lfloor 1500 / 1269{,}2 \rfloor = 1$ dans la largeur, soit $3 \times 1 = 3$ pièces.

On garde la meilleure orientation : 3 pièces.

Contrôle : surface utilisée $3 \times 1269{,}2 \times 800 \approx 3{,}05$ m², inférieure aux $4{,}5$ m² de la tôle.

On isole le diamètre moyen : $D_m = \dfrac{1005{,}3}{\pi} \approx 320$ mm.

Le diamètre extérieur vaut le diamètre moyen plus une épaisseur : $D_{ext} = 320 + 3 = 323$ mm.

Contrôle : le diamètre intérieur est $320 - 3 = 317$ mm ; $D_{int} < D_m < D_{ext}$, la chaîne est cohérente.

Écart radial : $\dfrac{D-d}{2} = \dfrac{300-200}{2} = 50$ mm.

Génératrice du tronc : $G = \sqrt{400^2 + 50^2} = \sqrt{162\,500} \approx 403{,}1$ mm.

Rapport des triangles semblables : $\dfrac{D}{D-d} = \dfrac{300}{100} = 3$.

Génératrice du cône entier : $G_g = 3 \times 403{,}1 \approx 1\,209{,}3$ mm.

Génératrice du petit cône retiré : $1209{,}3 - 403{,}1 \approx 806{,}2$ mm, soit les $\dfrac{2}{3}$ de $G_g$ ; cela confirme le rapport $d/D = 2/3$.

Longueur de l'arc : c'est le périmètre de la grande base, $\pi D = \pi \times 300 \approx 942{,}5$ mm.

Périmètre du cercle complet de rayon $G_g$ : $2\pi G_g \approx 7\,598{,}2$ mm.

Proportionnalité : $\alpha = 360 \times \dfrac{\pi D}{2\pi G_g} = 360 \times \dfrac{D}{2\,G_g}$.

Application : $\alpha = 360 \times \dfrac{300}{2 \times 1209{,}3} \approx 44{,}65°$.

Contrôle : l'angle est inférieur à $180°$, normal pour un cône élancé dont la génératrice est bien plus grande que le rayon de base.

Longueur théorique : $\pi \times 404 \approx 1\,269{,}2$ mm.

Écart : $1270{,}4 - 1269{,}2 = 1{,}2$ mm.

Comparaison : $1{,}2 > 1$, l'écart dépasse la tolérance de $\pm 1$ mm.

Décision : la pièce n'est pas conforme ; il faut reprendre la découpe ou la rectifier avant le roulage.