Calcul numérique et littéral rapide : exercices de Première

Le plus petit multiple commun de $4$ et $6$ est $12$, on prend donc $12$ comme dénominateur commun.

On transforme la première fraction : $\dfrac{3}{4}=\dfrac{3\times 3}{4\times 3}=\dfrac{9}{12}$.

On transforme la seconde : $\dfrac{5}{6}=\dfrac{5\times 2}{6\times 2}=\dfrac{10}{12}$.

On additionne les numérateurs et on garde le dénominateur : $A=\dfrac{9+10}{12}=\dfrac{19}{12}$.

$19$ est un nombre premier qui ne divise pas $12$, la fraction est donc irréductible. Sa valeur décimale est $A\approx 1{,}5833$.

On développe : $(x+3)^2=x^2+6x+9$.

On remplace dans $E(x)$ : $E(x)=x^2+6x+9-x^2-9$.

On regroupe les termes de même nature : les $x^2$ s'annulent, les constantes $9$ et $-9$ aussi. Il reste $E(x)=6x$.

On remplace $x$ par $7$ : $E(7)=6\times 7=42$.

Vérification sans la forme réduite : $(7+3)^2-7^2-9=100-49-9=42$. Les deux calculs concordent.

Au numérateur, on additionne les exposants : $2^5\times 2^{-2}=2^{5+(-2)}=2^3$.

On divise par $2^4$ : $B=\dfrac{2^3}{2^4}=2^{3-4}=2^{-1}$.

Par définition d'une puissance négative, $2^{-1}=\dfrac{1}{2}$.

Sous forme décimale, $B=0{,}5$.

On soustrait $2x$ aux deux membres : $5x-2x-7=8$, soit $3x-7=8$.

On ajoute $7$ aux deux membres : $3x=15$.

On divise par $3$ : $x=\dfrac{15}{3}=5$.

Vérification : à gauche $5\times 5-7=18$, à droite $2\times 5+8=18$. L'égalité est vraie, donc la solution est $5$.

$\sqrt{50}=\sqrt{25\times 2}=5\sqrt{2}$.

$\sqrt{18}=\sqrt{9\times 2}=3\sqrt{2}$.

$\sqrt{8}=\sqrt{4\times 2}=2\sqrt{2}$.

On regroupe : $C=5\sqrt{2}-3\sqrt{2}+2\sqrt{2}=(5-3+2)\sqrt{2}=4\sqrt{2}$.

Avec $\sqrt{2}\approx 1{,}414214$, on obtient $C\approx 4\times 1{,}414214\approx 5{,}6569$.

On reconnaît la forme $a^2-b^2$ avec $a=10{,}2$ et $b=9{,}8$.

On applique $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ : $D=(10{,}2-9{,}8)(10{,}2+9{,}8)$.

On calcule chaque facteur : $10{,}2-9{,}8=0{,}4$ et $10{,}2+9{,}8=20$.

On multiplie : $D=0{,}4\times 20=8$.

On met sur le dénominateur commun : $F(x)=\dfrac{2(x+2)}{(x-1)(x+2)}+\dfrac{3(x-1)}{(x-1)(x+2)}$.

On additionne les numérateurs : $2(x+2)+3(x-1)=2x+4+3x-3=5x+1$.

On obtient $F(x)=\dfrac{5x+1}{(x-1)(x+2)}$.

On remplace $x$ par $3$ : $F(3)=\dfrac{5\times 3+1}{(3-1)(3+2)}=\dfrac{16}{10}=\dfrac{8}{5}$, soit $1{,}6$.

Contrôle sur la forme de départ : $\dfrac{2}{2}+\dfrac{3}{5}=1+0{,}6=1{,}6$.

Le produit est nul si $x-3=0$ ou si $2x+8=0$.

Première équation : $x-3=0$ donne $x=3$.

Seconde équation : $2x+8=0$ donne $2x=-8$, donc $x=-4$.

L'ensemble des solutions est $\{-4\,;\,3\}$.

La plus petite solution est $-4$. Vérification : $(-4-3)\times(2\times(-4)+8)=(-7)\times 0=0$.