Énergie et puissance : exercices corrigés de Première SI

On repère la relation : $P_m = \dfrac{E}{\tau}$. ⁵

On identifie les données : $E = 36\,000\ \text{J}$ et $\tau = 12\ \text{s}$. Elles sont déjà dans les unités du Système international.

On remplace : $P_m = \dfrac{36\,000}{12} = 3\,000\ \text{W}$.

On rédige : la puissance moyenne du moteur est de $3\,000\ \text{W}$, soit $3\ \text{kW}$.

Relation : $E = P \times \tau$ (obtenue à partir de $P_m = E/\tau$). ⁵

Conversion : $1\,500\ \text{W} = 1{,}5\ \text{kW}$. La durée reste en heures.

Calcul : $E = 1{,}5 \times 2 = 3\ \text{kWh}$.

Vérification en joules : $3\ \text{kWh} = 3 \times 3{,}6\times10^{6} = 10{,}8\times10^{6}\ \text{J}$. On retrouve le même résultat avec $1\,500 \times 7\,200 = 10\,800\,000\ \text{J}$.

Relation : $P = U \times I$. ⁵

Remplacement : $P = 230 \times 0{,}26$.

Calcul : $P = 59{,}8\ \text{W}$.

Phrase de réponse : l'ampoule consomme environ $60\ \text{W}$.

On convertit la vitesse : $v = \dfrac{72}{3{,}6} = 20\ \text{m/s}$.

Relation : $P = F \times v$. ⁵

Remplacement : $P = 450 \times 20$.

Calcul : $P = 9\,000\ \text{W} = 9\ \text{kW}$.

Conversion en tours par seconde : $\dfrac{3\,000}{60} = 50\ \text{tr/s}$.

Conversion en radians par seconde : un tour vaut $2\pi$ radians, donc $\omega = 2\pi \times 50 = 100\pi \approx 314{,}16\ \text{rad/s}$.

Relation : $P = C \times \omega$. ⁵

Calcul : $P = 12 \times 314{,}16 \approx 3\,770\ \text{W}$.

Relation : $E = P \times \tau$. ⁵

Données : $P = 2\ \text{MW}$ et $\tau = 3\ \text{h}$.

Calcul : $E = 2 \times 3 = 6\ \text{MWh}$.

Conversion pour information : $6\ \text{MWh} = 6\,000\ \text{kWh} = 2{,}16\times10^{10}\ \text{J}$.

Énergie de la phase de démarrage : $E_1 = 4\,000 \times 10 = 40\,000\ \text{J}$.

Énergie de la phase de régime continu : $E_2 = 1\,200 \times 50 = 60\,000\ \text{J}$.

Énergie totale : $E = E_1 + E_2 = 100\,000\ \text{J}$ sur une durée $\tau = 60\ \text{s}$.

Puissance moyenne : $P_m = \dfrac{E}{\tau} = \dfrac{100\,000}{60} \approx 1\,667\ \text{W}$. ⁵

Contrôle : la moyenne arithmétique des deux puissances donnerait $2\,600\ \text{W}$, ce qui est faux car la phase la plus longue pèse davantage.

Énergie absorbée en accumulation : $E = 50 \times 6 = 300\ \text{MWh}$.

Hypothèse du cas idéal : l'énergie restituée est égale à l'énergie stockée, soit $300\ \text{MWh}$.

Durée de production : $\tau = \dfrac{E}{P} = \dfrac{300}{100} = 3\ \text{h}$. ⁵

Interprétation : la puissance de production étant le double de celle d'accumulation, la durée est divisée par deux.

Conversion : $4\,578\ \text{TWh} = 4\,578\,000\ \text{GWh}$.

Relation : $P_m = \dfrac{E}{\tau}$. ⁵

Calcul : $P_m = \dfrac{4\,578\,000}{8\,760} \approx 522{,}6\ \text{GW}$.

Comparaison : $\dfrac{522{,}6}{1\,443} \approx 0{,}362$, soit environ $36\ \%$ de la puissance installée.

Interprétation : les centrales ne fonctionnent pas en permanence à leur puissance maximale ; la production dépend notamment du débit disponible. ⁶