Moteurs électriques : exercices corrigés de Première SI

On identifie les puissances : $P_{abs} = 400$ W (côté électrique) et $P_u = 340$ W (côté mécanique).

On applique la définition du rendement : $\eta = \dfrac{P_u}{P_{abs}}$.

On calcule : $\eta = \dfrac{340}{400} = 0{,}85$.

On vérifie : le résultat est inférieur à 1, comme il se doit. Le rendement est de 85 %.

On exprime la puissance utile : $P_u = \eta \times P_{abs} = 0{,}90 \times 1\,500 = 1\,350$ W.

On écrit le bilan de puissance : $P_{abs} = P_u + P_{pertes}$.

On isole les pertes : $P_{pertes} = 1\,500 - 1\,350 = 150$ W.

On vérifie par une autre voie : les pertes représentent $10\ \%$ de $1\,500$ W, soit bien $150$ W.

On convertit la vitesse : $\omega = \dfrac{2\pi \times 1\,500}{60} = 50\pi \approx 157{,}08$ rad/s.

On écrit la relation entre puissance, couple et vitesse angulaire : $P_u = C \times \omega$.

On remplace : $P_u = 2{,}4 \times 157{,}08 \approx 376{,}99$ W.

On contrôle l'ordre de grandeur : un couple de quelques N·m à une vitesse de 150 rad/s donne bien quelques centaines de watts.

On calcule la puissance absorbée : $P_{abs} = U \times I = 24 \times 5 = 120$ W.

On calcule les pertes Joule : $P_J = R \times I^2 = 0{,}8 \times 25 = 20$ W.

Comme seules ces pertes existent, la puissance utile vaut $P_u = 120 - 20 = 100$ W. On retrouve le même résultat avec $E = U - R I = 24 - 4 = 20$ V et $P_u = E \times I = 20 \times 5 = 100$ W.

On calcule le rendement : $\eta = \dfrac{100}{120} \approx 0{,}833$.

On calcule le rendement total de la chaîne : $\eta_{total} = 0{,}95 \times 0{,}88 \times 0{,}97 \approx 0{,}8109$.

On relie les puissances : $P_{roues} = \eta_{total} \times P_{batterie}$.

On isole la puissance de la batterie : $P_{batterie} = \dfrac{3\,000}{0{,}8109} \approx 3\,699{,}5$ W.

On contrôle : la batterie fournit plus que les roues ne reçoivent, comme le veut le bilan d'énergie.

On calcule la durée du trajet : $t = \dfrac{7{,}5}{2{,}5} = 3$ h.

On rappelle la relation entre énergie et puissance : $W = P \times t$.

On remplace : $W = 220 \times 3 = 660$ Wh.

On convertit pour se faire une idée : $660$ Wh $= 0{,}66$ kWh, soit l'énergie qu'un petit radiateur de 1 kW consomme en une quarantaine de minutes.

On détermine la force à exercer : à vitesse constante, elle compense le poids, $F = m \times g = 250 \times 9{,}81 = 2\,452{,}5$ N.

On calcule la puissance utile : $P_u = F \times v = 2\,452{,}5 \times 0{,}4 = 981$ W.

On relie puissance utile et puissance absorbée : $P_{abs} = \dfrac{P_u}{\eta}$.

On calcule : $P_{abs} = \dfrac{981}{0{,}75} = 1\,308$ W.

On contrôle : la puissance absorbée dépasse la puissance utile de 327 W, qui correspondent aux pertes.

On rappelle que la conversion d'énergie est réversible : la même machine peut convertir du mécanique en électrique ⁶.

On identifie le sens du flux : entrée = puissance mécanique $5\,000$ W, sortie utile = puissance électrique.

On applique le rendement : $P_{élec} = \eta \times P_{méca} = 0{,}90 \times 5\,000 = 4\,500$ W.

On calcule les pertes : $5\,000 - 4\,500 = 500$ W, dissipés en chaleur.