La logique combinatoire : cours de Première SI

Quand tu appuies sur le bouton d'un robot ménager, quand la porte d'un magasin s'ouvre à ton approche ou quand le plafonnier d'une voiture s'allume à l'ouverture d'une portière, une petite décision logique est prise : « si telle condition est vraie et telle autre est fausse, alors j'active la sortie ». Ces décisions se décrivent avec une même théorie, la logique combinatoire. Des ressources pédagogiques officielles de technologie la font d'ailleurs étudier à partir de quatre objets du quotidien : le robot ménager, le réfrigérateur, le plafonnier de voiture et la porte automatique.¹

En sciences de l'ingénieur, tu dois savoir traduire le comportement d'un système en un modèle, puis représenter ce modèle par des schémas. C'est exactement ce que fait la logique combinatoire : elle transforme une phrase du cahier des charges (« la pompe démarre si le niveau est bas et si le bouton de marche est actionné ») en une expression précise, sans ambiguïté, que l'on peut calculer, simplifier et câbler.²

Ce cours part de ce que tu connais déjà du codage de l'information numérique : une information peut être représentée par des 0 et des 1. Il te mènera jusqu'à la lecture et à l'écriture d'équations logiques, de tables de vérité et de logigrammes. Il prépare la suite du programme : la programmation d'un microcontrôleur, où ces mêmes conditions s'écrivent dans un programme.

Un système logique reçoit des informations (les entrées) et produit un résultat (la sortie). Dans le cas le plus simple, chaque information ne prend que deux valeurs. On les note $0$ et $1$.

• Un capteur de présence détecte quelqu'un ($1$) ou personne ($0$).
• Un bouton-poussoir est actionné ($1$) ou relâché ($0$).
• Un moteur est alimenté ($1$) ou à l'arrêt ($0$).

On désigne chaque entrée par une lettre majuscule ($A$, $B$, $C$…) et la sortie par une autre lettre ($S$, par exemple). Ces grandeurs sont appelées variables logiques ou variables binaires.

Le programme officiel de sciences de l'ingénieur de 2010 limite l'étude de la logique combinatoire à cinq fonctions : NON, ET, OU, NON ET et NON OU.² Les trois premières sont les briques de départ ; les deux autres se déduisent d'elles.

La fonction NON ET est un ET suivi d'un NON : $S = \overline{A \cdot B}$. La fonction NON OU est un OU suivi d'un NON : $S = \overline{A + B}$.² Elles donnent des tables de vérité exactement opposées à celles du ET et du OU.

Un système combinatoire qui comporte plusieurs fonctions logiques peut se représenter par un schéma à contacts, par une équation, par une table de vérité ou par un schéma graphique ; ce dernier s'appelle un logigramme.⁵ Ces quatre représentations disent la même chose avec des outils différents. Savoir passer de l'une à l'autre est une compétence centrale du chapitre.

Un cahier des charges est écrit en français. Pour le traduire, suis une démarche constante. Elle fonctionne que le système compte deux ou cinq entrées.

Simplifier une équation, c'est réduire le nombre de portes, donc le coût et la consommation du montage. Quelques règles suffisent au niveau de Première. Chacune se vérifie par une table de vérité.

Il existe deux grands types de fonctions logiques. Les fonctions combinatoires, qui sont à la base du calcul booléen, résultent de l'analyse des variations des seules grandeurs d'entrée. Les fonctions séquentielles, ou bascules, associent plusieurs fonctions combinatoires et donnent des résultats qui dépendent non seulement des données en cours de traitement mais aussi de celles traitées auparavant.⁵ Le programme officiel mentionné plus haut précise que l'étude des systèmes logiques à évènements couvre à la fois la logique combinatoire et la logique séquentielle.²

Les fonctions combinatoires qui viennent de l'algèbre de Boole constituent la base de l'électronique numérique. On les réalise sous forme de portes logiques : un circuit électronique calcule ainsi des fonctions booléennes, et chaque porte est fabriquée en reliant correctement plusieurs transistors.⁵ D'autres technologies existent : relais, fluides, éléments optiques ou mécaniques.⁵

Selon la modélisation choisie, on tient compte ou non des temps de retard dans les calculs.⁵ Dans ce cours, on suppose la réaction instantanée : seule la valeur logique compte.

À retenir pour la suite : une porte NON ET (ou une porte NON OU) suffit à fabriquer toutes les autres fonctions du cours. C'est ce que tu pourras vérifier en exercice avec les lois de De Morgan, par exemple en branchant les deux entrées d'une porte NON ET ensemble pour obtenir un NON.