Interaction gravitationnelle et poids : exercices de 2de

On repère le préfixe : milli, soit un facteur $10^{-3}$.

On convertit : $1\,650\ \text{mN} = 1\,650\times10^{-3}\ \text{N}$.

On calcule : $1\,650\times10^{-3} = 1{,}650\ \text{N}$.

La masse est déjà en kilogrammes : pas de conversion.

On écrit la relation : $P = m\,g$.

On remplace : $P = 55 \times 9{,}81$.

On calcule : $P = 539{,}55\ \text{N}$, soit environ $540\ \text{N}$.

On part de $P = m\,g$.

On isole la masse : $m = \dfrac{P}{g}$.

On remplace : $m = \dfrac{49{,}05}{9{,}81}$.

On calcule : $m = 5{,}00\ \text{kg}$. Les unités sont cohérentes : $\text{N} \div (\text{N/kg}) = \text{kg}$.

Les masses sont en kg et la distance en m : aucune conversion à faire.

On écrit la relation : $F = G\,\dfrac{m_A\,m_B}{d^2}$.

On remplace : $F = 6{,}67\times10^{-11}\times\dfrac{0{,}70\times0{,}70}{0{,}50^2}$.

On calcule : $\dfrac{0{,}49}{0{,}25} = 1{,}96$, donc $F = 6{,}67\times10^{-11}\times1{,}96 \approx 1{,}31\times10^{-10}\ \text{N}$.

Poids d'une boule : $P = 0{,}70\times9{,}81 \approx 6{,}9\ \text{N}$.

Rapport : $\dfrac{P}{F} \approx \dfrac{6{,}9}{1{,}3\times10^{-10}} \approx 5\times10^{10}$ : le poids est environ cinquante milliards de fois plus grand.

Sur la Lune : $P_L = m\,g_L = 70\times1{,}62 = 113{,}4\ \text{N}$.

Sur Terre : $P_T = m\,g_T = 70\times9{,}81 = 686{,}7\ \text{N}$.

On compare : $\dfrac{P_T}{P_L} = \dfrac{686{,}7}{113{,}4} \approx 6{,}06$ : le poids est environ six fois plus faible sur la Lune.

La masse est une propriété de l'objet lui-même : elle ne dépend pas de l'endroit où il se trouve. Elle reste égale à $70\ \text{kg}$.

On écrit : $F = G\,\dfrac{M_T\,M_L}{d^2}$.

Numérateur : $5{,}97\times7{,}35 = 43{,}88$ et $43{,}88\times6{,}67 \approx 292{,}7$, avec les puissances $10^{-11}\times10^{24}\times10^{22} = 10^{35}$ : on obtient $2{,}927\times10^{37}$.

Dénominateur : $d^2 = (3{,}84\times10^{8})^2 = 14{,}75\times10^{16} = 1{,}475\times10^{17}\ \text{m}^2$.

Quotient : $F = \dfrac{2{,}927\times10^{37}}{1{,}475\times10^{17}} \approx 1{,}985\times10^{20}\ \text{N}$.

Pour la question 2 : les deux forces sont exercées l'une par la Terre sur la Lune, l'autre par la Lune sur la Terre. Elles ont la même valeur, la même direction (la droite qui joint les centres) mais des sens opposés. La Lune attire donc la Terre avec la même intensité, environ $1{,}985\times10^{20}\ \text{N}$.

On écrit l'égalité : $m\,g = G\,\dfrac{m\,M_T}{R_T^2}$.

On simplifie par $m$ (non nulle) : $g = G\,\dfrac{M_T}{R_T^2}$. On voit au passage que $g$ ne dépend pas de la masse de l'objet.

On remplace : $g = 6{,}67\times10^{-11}\times\dfrac{5{,}97\times10^{24}}{(6{,}37\times10^{6})^2}$.

Numérateur : $6{,}67\times5{,}97 \approx 39{,}82$, avec $10^{-11}\times10^{24} = 10^{13}$, donc $3{,}982\times10^{14}$.

Dénominateur : $(6{,}37\times10^{6})^2 = 40{,}58\times10^{12} = 4{,}058\times10^{13}$.

Quotient : $g = \dfrac{3{,}982\times10^{14}}{4{,}058\times10^{13}} \approx 9{,}81\ \text{N/kg}$.

Altitude en mètres : $400\ \text{km} = 4{,}00\times10^{5}\ \text{m}$.

Distance au centre : $d = R_T + h = 6{,}37\times10^{6} + 0{,}40\times10^{6} = 6{,}77\times10^{6}\ \text{m}$.

On écrit : $F = G\,\dfrac{M_T\,m}{d^2}$.

Numérateur : $6{,}67\times10^{-11}\times5{,}97\times10^{24}\times800 \approx 3{,}186\times10^{17}$.

Dénominateur : $d^2 = (6{,}77\times10^{6})^2 \approx 4{,}583\times10^{13}\ \text{m}^2$.

Quotient : $F \approx \dfrac{3{,}186\times10^{17}}{4{,}583\times10^{13}} \approx 6{,}95\times10^{3}\ \text{N}$, soit environ $6\,950\ \text{N}$.

Poids au sol : $P = 800\times9{,}81 = 7\,848\ \text{N}$. Le rapport $\dfrac{6\,950}{7\,848} \approx 0{,}89$ : à 400 km, la force vaut encore près de 90 % de son intensité au sol.

Pour la planète : $g_P = G\,\dfrac{2\,M_T}{(2\,R_T)^2}$.

On développe le dénominateur : $(2\,R_T)^2 = 4\,R_T^2$.

On simplifie : $g_P = G\,\dfrac{2\,M_T}{4\,R_T^2} = \dfrac{2}{4}\,G\,\dfrac{M_T}{R_T^2} = 0{,}5\,g_T$.

On calcule : $g_P = 0{,}5\times9{,}81 = 4{,}905\ \text{N/kg}$.

Poids de la personne : $P = m\,g_P = 60\times4{,}905 = 294{,}3\ \text{N}$.