Lois de Snell-Descartes : exercices corrigés de 2de

Données : $c = 3{,}00\times10^{8}\ \text{m/s}$ et $v = 2{,}00\times10^{8}\ \text{m/s}$ ; on cherche $n$.

On utilise la définition de l'indice : $n = \dfrac{c}{v}$ ⁴.

On remplace : $n = \dfrac{3{,}00\times10^{8}}{2{,}00\times10^{8}} = 1{,}50$.

Contrôle : $n \geq 1$, ce qui est cohérent, car la lumière est ralentie dans le verre.

Données : $n = 2{,}4$ et $c = 3{,}00\times10^{8}\ \text{m/s}$ ; on cherche $v$.

On part de $n = \dfrac{c}{v}$ ⁴ et on isole $v$ : $v = \dfrac{c}{n}$.

Calcul : $v = \dfrac{3{,}00\times10^{8}}{2{,}4} = 1{,}25\times10^{8}\ \text{m/s}$.

Contrôle : $v < c$, comme il se doit dans un milieu matériel.

Données : $n_1 = 1{,}00$, $n_2 = 1{,}33$, $i = 40°$ ; on cherche $r$.

Condition : le rayon change de milieu et il n'y a pas de réflexion totale, la relation s'applique ².

On écrit $n_1 \sin i = n_2 \sin r$ ², d'où $\sin r = \dfrac{n_1 \sin i}{n_2}$.

Calcul : $\sin r = \dfrac{1{,}00\times\sin 40°}{1{,}33} = \dfrac{0{,}6428}{1{,}33} \approx 0{,}4833$.

On en déduit $r = \sin^{-1}(0{,}4833) \approx 28{,}9°$.

Données : $n_1 = 1{,}00$, $i = 50°$, $r = 30°$ ; on cherche $n_2$.

On part de $n_1 \sin i = n_2 \sin r$ ² et on isole $n_2 = \dfrac{n_1 \sin i}{\sin r}$.

Calcul : $n_2 = \dfrac{1{,}00\times\sin 50°}{\sin 30°} = \dfrac{0{,}7660}{0{,}5000} \approx 1{,}53$.

Contrôle : $n_2 \geq 1$ et $n_2 > n_1$, ce qui est cohérent avec un angle $r$ plus petit que $i$.

Données : $n_1 = 1{,}33$, $n_2 = 1{,}00$, $i = 30°$ ; on cherche $r$.

On isole : $\sin r = \dfrac{n_1 \sin i}{n_2}$, à partir de $n_1 \sin i = n_2 \sin r$ ².

Calcul : $\sin r = \dfrac{1{,}33\times 0{,}5}{1{,}00} = 0{,}665$.

Ce sinus est inférieur à 1 : un rayon réfracté existe, donc la relation s'applique ².

On trouve $r = \sin^{-1}(0{,}665) \approx 41{,}7°$.

Comparaison : $41{,}7° > 30°$, le rayon s'éloigne de la normale.

Le rayon fait $25°$ avec la surface ; la normale est perpendiculaire à la surface.

L'angle d'incidence est donc $i = 90° - 25° = 65°$.

Par la loi de la réflexion donnée dans l'énoncé, l'angle de réflexion vaut aussi $65°$.

Le rayon incident et le rayon réfléchi sont de part et d'autre de la normale : l'angle qui les sépare est $65° + 65° = 130°$.

On isole : $\sin r = \dfrac{n_1 \sin i}{n_2}$, d'après $n_1 \sin i = n_2 \sin r$ ².

Calcul : $\sin r = \dfrac{1{,}50\times\sin 50°}{1{,}00} = 1{,}50\times 0{,}7660 \approx 1{,}149$.

Un sinus ne peut jamais dépasser 1 : aucun angle $r$ ne convient.

La relation de la réfraction n'est valable qu'à condition qu'il n'y ait pas de réflexion totale ². Ici, la condition n'est pas remplie.

À la limite, $r = 90°$ et donc $\sin r = 1$.

On écrit la relation $n_1 \sin i_\ell = n_2 \sin 90°$ ², soit $n_1 \sin i_\ell = n_2$.

On isole : $\sin i_\ell = \dfrac{n_2}{n_1} = \dfrac{1{,}00}{1{,}50} \approx 0{,}6667$.

On trouve $i_\ell = \sin^{-1}(0{,}6667) \approx 41{,}8°$.

Lien avec l'exercice précédent : $50° > 41{,}8°$, ce qui confirme qu'il y avait bien réflexion totale.

Données : $n_1 = 1{,}00$, $n_2 = 1{,}50$, $i = 60°$ ; on cherche $i - r$.

On isole : $\sin r = \dfrac{n_1 \sin i}{n_2}$, d'après $n_1 \sin i = n_2 \sin r$ ².

Calcul : $\sin r = \dfrac{0{,}8660}{1{,}50} \approx 0{,}5774$, ce qui est inférieur à 1 : le rayon est bien réfracté.

On en tire $r = \sin^{-1}(0{,}5774) \approx 35{,}3°$.

Déviation : $i - r = 60° - 35{,}3° = 24{,}7°$.