Dynamique des populations : exercices corrigés de Terminale

Le coefficient $k=0{,}05$ est strictement positif, donc $N(t)=200\,e^{0{,}05t}$ est croissante : la population croît.

On applique la formule en $t=10$ : $N(10)=200\,e^{0{,}05\times10}=200\,e^{0{,}5}$.

On calcule $e^{0{,}5}\approx1{,}6487$, donc $N(10)\approx 200\times1{,}6487\approx 329{,}7$.

On arrondit à l'unité : environ 330 individus.

Sur le fond : ce modèle fait croître la population sans limite, il est donc peu réaliste sur la durée.⁴ Sur dix ans, avec un milieu qui impose des limites, la prévision est à prendre avec prudence.

Doubler signifie $N(T)=2N_0$, soit $N_0e^{kT}=2N_0$.

On divise par $N_0$, qui est strictement positif : $e^{kT}=2$. Le $N_0$ a disparu, donc $T$ est indépendante de l'effectif initial.¹

On prend le logarithme népérien : $kT=\ln 2$, donc $T=\dfrac{\ln 2}{k}$.

Application numérique : $T=\dfrac{0{,}6931}{0{,}07}\approx 9{,}90$ heures.

Avec $k<0$, la population diminue.¹

En $t=5$ : $N(5)=5000\,e^{-0{,}1\times5}=5000\,e^{-0{,}5}$.

Or $e^{-0{,}5}\approx0{,}6065$, donc $N(5)\approx 3\,033$ individus.

Pour la demi-vie : $e^{-0{,}1T}=\dfrac12$, donc $-0{,}1T=-\ln2$ et $T=\dfrac{\ln 2}{0{,}1}\approx 6{,}9$ ans.

Côté biologie : la chasse, la pêche ou le dérangement répété peuvent provoquer la disparition massive d'espèces ou de populations.⁴ Une pêche excessive est donc une explication plausible.

Le modèle s'écrit $N(t)=400\,e^{kt}$ et on sait que $N(4)=640$.

Donc $400\,e^{4k}=640$, soit $e^{4k}=1{,}6$.

On applique $\ln$ : $4k=\ln 1{,}6\approx0{,}4700$, d'où $k\approx0{,}1175$ an$^{-1}$.

Le coefficient est positif : la population croît, conformément aux données.¹

Temps de doublement : $T=\dfrac{\ln 2}{k}=\dfrac{0{,}6931}{0{,}1175}\approx 5{,}9$ ans.

Un facteur constant de 1,08 par an donne une suite géométrique, forme discrète de la croissance proportionnelle à l'effectif.⁴ Ainsi $N_n=1000\times1{,}08^n$.

On cherche $1000\times1{,}08^n>2000$, soit $1{,}08^n>2$.

On prend le logarithme népérien (croissant) : $n\ln1{,}08>\ln2$, donc $n>\dfrac{\ln 2}{\ln 1{,}08}\approx 9{,}006$.

L'entier minimal est donc $n=10$. Vérification : $1{,}08^9\approx1{,}999<2$ et $1{,}08^{10}\approx2{,}159>2$.

Le quotient est un peu supérieur à 9 ; comme $n$ doit être un entier et qu'on veut dépasser 2 000, on prend l'entier supérieur.

Un prédateur spécialisé exerce une pression négative sur la densité de ses proies : elles diminuent.⁵

Les proies devenant plus rares, le prédateur trouve moins de nourriture et finit par décliner à son tour ; la proie peut alors se rétablir.

Le décalage s'explique par le fait que la dynamique du prédateur suit toujours celle de la proie avec un retard.⁵ Ce retard est à l'origine des oscillations.⁵

Les effectifs fluctuent de façon périodique : c'est une dynamique cyclique.⁴

Exemple : les lemmings et leurs prédateurs comme le harfang des neiges et le renard polaire connaissent des fluctuations sur plusieurs années.⁴

Hypothèse : le parasite est la cause des cycles et des chutes d'effectif de son hôte.

Si l'hypothèse est exacte, éliminer le ver doit faire disparaître le caractère cyclique. Les expériences l'ont bien observé.⁵

Mécanisme : chez une femelle infectée, la reproduction baisse nettement, d'où les « crashs » dans les effectifs.⁵ De façon générale, le parasite régule son hôte en abaissant sa valeur sélective, c'est-à-dire son taux de reproduction et sa survie.⁵

Le parasitisme est une interaction +/- qui se prolonge dans le temps : ses effets pèsent donc longtemps sur l'hôte et finissent par réguler sa population.⁵

Selon le couple hôte-parasite, la période des cycles change : elle va de 4 ans pour le lagopède à 10 ans pour un insecte forestier de Suisse, la tordeuse grise du mélèze.⁵

Une corrélation négative signifie que lorsque l'index NAO augmente, l'abondance des salamandres tend à diminuer, et inversement.⁵

Selon l'étude, l'abondance est plus faible pendant un hiver froid et sec que pendant un hiver chaud et humide.⁵

Une corrélation montre une association, pas une cause. Il faut comprendre le mécanisme (survie, reproduction, activité) et éliminer d'autres facteurs, par exemple par des mesures complémentaires.

Les variations de température et de conditions du milieu peuvent affecter fortement une population et rendre sa dynamique cyclique.⁵ Pour repérer un cycle ou un lien avec le climat, il faut des années de suivi : deux ans montreraient seulement un point isolé de la courbe.

On conclut avec prudence : le climat est un facteur abiotique candidat pour expliquer les fluctuations, et la longueur du suivi rend ce lien plus crédible.