Capteurs capacitifs : exercices corrigés de Terminale

Conversion : $S = 2{,}0\times10^{-4}\ \text{m}^2$ et $d = 5{,}0\times10^{-4}\ \text{m}$.

On écrit la relation du condensateur plan : $C = \dfrac{\varepsilon S}{d}$.

Application numérique : $C = \dfrac{8{,}85\times10^{-12}\times 2{,}0\times10^{-4}}{5{,}0\times10^{-4}} = 3{,}54\times10^{-12}\ \text{F}$.

Conversion : $C = 3{,}54\ \text{pF}$.

On part de $C = \dfrac{\varepsilon S}{d}$ et on isole $d$ : $d = \dfrac{\varepsilon S}{C}$.

On convertit : $S = 2{,}0\times10^{-4}\ \text{m}^2$ et $C = 2{,}95\times10^{-12}\ \text{F}$.

Application numérique : $d = \dfrac{8{,}85\times10^{-12}\times2{,}0\times10^{-4}}{2{,}95\times10^{-12}} = 6{,}0\times10^{-4}\ \text{m}$.

Conversion : $d = 0{,}60\ \text{mm}$.

Conversion : $S = 1{,}5\times10^{-4}\ \text{m}^2$, $d_1 = 8{,}0\times10^{-4}\ \text{m}$, $d_2 = 6{,}0\times10^{-4}\ \text{m}$.

Capacité initiale : $C_1 = \dfrac{8{,}85\times10^{-12}\times1{,}5\times10^{-4}}{8{,}0\times10^{-4}} \approx 1{,}659\ \text{pF}$.

Capacité finale : $C_2 = \dfrac{8{,}85\times10^{-12}\times1{,}5\times10^{-4}}{6{,}0\times10^{-4}} \approx 2{,}213\ \text{pF}$.

Variation : $\Delta C = C_2 - C_1 \approx 0{,}553\ \text{pF}$.

Le signe est positif : la distance a diminué, donc la capacité a augmenté.

Conversion : $I = 2{,}0\times10^{-6}\ \text{A}$, $f = 5{,}0\times10^{4}\ \text{Hz}$, $C = 3{,}0\times10^{-12}\ \text{F}$.

Dénominateur : $2\pi f C = 2\pi\times5{,}0\times10^{4}\times3{,}0\times10^{-12} \approx 9{,}42\times10^{-7}\ \text{S}$.

Amplitude : $U = \dfrac{2{,}0\times10^{-6}}{9{,}42\times10^{-7}} \approx 2{,}12\ \text{V}$.

On vérifie le sens de variation : si $d$ diminue, $C$ augmente et $U$ diminue.

Dans l'air : $C_0 = \dfrac{\varepsilon_0 S}{d}$.

Avec le matériau : $C = \dfrac{\varepsilon_0\varepsilon_r S}{d} = \varepsilon_r\,C_0$.

Application numérique : $C = 3{,}5\times2{,}4 = 8{,}4\ \text{pF}$.

Interprétation : la capacité est plus grande, le signal est plus fort.

Conversion : $S_1 = 0{,}40\times10^{-6}\ \text{m}^2 = 4{,}0\times10^{-7}\ \text{m}^2$ et $d = 2{,}0\times10^{-5}\ \text{m}$.

Capacité d'une paire : $C_1 = \dfrac{8{,}85\times10^{-12}\times4{,}0\times10^{-7}}{2{,}0\times10^{-5}} = 1{,}77\times10^{-13}\ \text{F}$.

Les 12 capacités sont associées en parallèle : $C = 12\,C_1 = 2{,}124\times10^{-12}\ \text{F}$.

Conversion : $C \approx 2{,}12\ \text{pF}$.

Interprétation : une seule paire n'aurait donné que $0{,}177\ \text{pF}$, difficile à mesurer.

On calcule $C \times d$ pour chaque point : $1{,}77$, $3{,}54/2 = 1{,}77$ et $5{,}31/3 = 1{,}77$ (en $\text{pF}\cdot\text{mm}$). Le rapport est constant.

La courbe est donc une droite passant par l'origine, de coefficient directeur $a = 1{,}77\ \text{pF}\cdot\text{mm} = 1{,}77\times10^{-15}\ \text{F}\cdot\text{m}$.

Comme $C = \varepsilon S\times\dfrac{1}{d}$, on a $a = \varepsilon S$, soit $S = \dfrac{a}{\varepsilon}$.

Application numérique : $S = \dfrac{1{,}77\times10^{-15}}{8{,}85\times10^{-12}} = 2{,}0\times10^{-4}\ \text{m}^2$.

Conversion : $S = 2{,}0\ \text{cm}^2$.

Principe : la face sensible du détecteur joue le rôle d'une des deux plaques d'un condensateur. Alimentée par une tension alternative, elle crée devant elle un champ électrique variable, que la cible vient perturber ³.

Détecteur sans électrode de masse : il ne fonctionne que s'il existe un trajet vers la masse, et il convient aux matériaux conducteurs comme le métal ou l'eau ³. Une bouteille isolante vide n'offre pas ce trajet : ce détecteur ne convient donc pas.

Détecteur avec électrode de masse : l'électrode intégrée à la face de détection produit un champ électrique qui ne dépend d'aucun trajet vers la masse. Il détecte tous les matériaux, y compris des isolants derrière une paroi isolante, par exemple des céréales dans une boîte en carton ³.

Choix : détecteur avec électrode de masse pour les boîtes de céréales et pour la bouteille vide.

Polyvalence : ces détecteurs réagissent aussi bien aux métaux qu'aux non-métaux, et repèrent à faible distance des objets de toutes natures ³.