Rédiger une résolution de problème : exercices de Tle

Comprendre : on cherche la concentration $c$ en mol·L$^{-1}$ de la solution préparée.

Données : $m = 2{,}34$ g ; $M = 58{,}5$ g·mol$^{-1}$ ; $V = 250$ mL $= 0{,}250$ L (conversion faite avant tout calcul).

Stratégie : on calcule la quantité de matière dissoute, $n = \dfrac{m}{M}$, puis la concentration, $c = \dfrac{n}{V}$. Les deux relations se regroupent en $c = \dfrac{m}{M \times V}$.

Calcul : $n = \dfrac{2{,}34}{58{,}5} = 0{,}0400$ mol, puis $c = \dfrac{0{,}0400}{0{,}250} = 0{,}160$ mol·L$^{-1}$.

Conclusion : la solution a une concentration de $0{,}160$ mol·L$^{-1}$. L'ordre de grandeur est cohérent : quelques centièmes de mole dans un quart de litre donnent quelques dixièmes de mol·L$^{-1}$.

Comprendre : on cherche la vitesse $v$ en m·s$^{-1}$, alors que l'énoncé donne des km et des heures.

Données converties : $d = 120$ km $= 120\,000$ m ; $\Delta t = 1{,}5$ h $= 90$ min $= 5400$ s.

Stratégie : pour un mouvement à vitesse constante, $v = \dfrac{d}{\Delta t}$.

Calcul : $v = \dfrac{120\,000}{5400} = 22{,}22$ m·s$^{-1}$.

Vérification et conclusion : en km/h, on obtient $120 / 1{,}5 = 80$ km/h, et $80 / 3{,}6 \approx 22{,}2$ m·s$^{-1}$, ce qui concorde. Le convoi roule à environ $22{,}22$ m·s$^{-1}$.

Comprendre : on cherche le volume $V_1$ de solution mère à prélever, en mL.

Données : $c_1 = 0{,}50$ mol·L$^{-1}$ ; $c_2 = 0{,}020$ mol·L$^{-1}$ ; $V_2 = 100$ mL. Le volume cherché sera exprimé dans la même unité que $V_2$, donc aucune conversion n'est nécessaire.

Stratégie : la dilution n'ajoute que du solvant, donc la quantité de matière de soluté se conserve : $c_1 V_1 = c_2 V_2$.

Calcul : $V_1 = \dfrac{c_2 \times V_2}{c_1} = \dfrac{0{,}020 \times 100}{0{,}50} = 4{,}0$ mL.

Conclusion : il faut prélever $4{,}0$ mL de solution mère, puis compléter à $100$ mL avec de l'eau. Le facteur de dilution vaut $0{,}50 / 0{,}020 = 25$ et $100 / 25 = 4$ : le résultat est cohérent.

Comprendre : on cherche la hauteur maximale $h$ au-dessus du point de lancer.

Système et modèle : système = la balle ; référentiel terrestre supposé galiléen ; seule action considérée : le poids (frottements négligés), donc l'énergie mécanique se conserve.

Données : $v_0 = 12$ m·s$^{-1}$ ; $g = 9{,}8$ m·s$^{-2}$ ; vitesse nulle au sommet.

Stratégie : entre le lancer et le sommet, $\tfrac{1}{2} m v_0^2 = m g h$. La masse se simplifie : $h = \dfrac{v_0^2}{2g}$.

Calcul : $h = \dfrac{12^2}{2 \times 9{,}8} = \dfrac{144}{19{,}6} = 7{,}35$ m.

Conclusion : la balle monte à environ $7{,}35$ m. Remarque : le résultat ne dépend pas de la masse, ce qui est cohérent avec la simplification obtenue.

Comprendre : on cherche $c_A$ à partir du volume équivalent mesuré.

Données : $V_A = 10{,}0$ mL ; $c_B = 0{,}100$ mol·L$^{-1}$ ; $V_E = 14{,}5$ mL (les volumes restent en mL car ils apparaissent en rapport).

Stratégie : à l'équivalence, l'acide et la base ont été mélangés dans les proportions stœchiométriques ; avec des coefficients égaux à 1, $c_A V_A = c_B V_E$.

Calcul : $c_A = \dfrac{c_B \times V_E}{V_A} = \dfrac{0{,}100 \times 14{,}5}{10{,}0} = 0{,}145$ mol·L$^{-1}$.

Conclusion : la solution d'acide a une concentration de $0{,}145$ mol·L$^{-1}$. Il a fallu verser plus de base ($14{,}5$ mL) que le volume d'acide prélevé ($10{,}0$ mL), donc l'acide est plus concentré que la base : $c_A > c_B$, ce qui est cohérent.

Comprendre : on cherche une durée de chauffage. Il faut donc passer par l'énergie à transférer, puis par la puissance.

Données converties : $V = 2000$ L, donc $m = 1{,}0 \times 2000 = 2000$ kg ; $\Delta T = 25 - 15 = 10$ K (un écart de $10\,°\text{C}$ vaut $10$ K) ; $P = 3{,}0$ kW $= 3000$ W.

Stratégie, première étape : l'énergie reçue par l'eau est $Q = m \, c \, \Delta T$.

Calcul de l'énergie : $Q = 2000 \times 4180 \times 10 = 8{,}36 \times 10^{7}$ J.

Stratégie, seconde étape : sans pertes, $P = \dfrac{Q}{\Delta t}$, donc $\Delta t = \dfrac{Q}{P}$.

Calcul de la durée : $\Delta t = \dfrac{8{,}36 \times 10^{7}}{3000} \approx 27\,867$ s, soit $\dfrac{27\,867}{3600} \approx 7{,}74$ h.

Conclusion et esprit critique : il faut environ $7{,}74$ h, soit un peu moins de $7$ h $45$ min. En pratique, les pertes thermiques allongeraient cette durée : le résultat obtenu est donc une durée minimale.