Lunette astronomique : exercices corrigés de Terminale

Une lunette afocale a son foyer image de l'objectif confondu avec le foyer objet de l'oculaire ³.

Depuis l'objectif, ce foyer est à la distance $f'_1$ ; depuis l'oculaire, il est à la distance $f'_2$ en sens inverse.

La distance entre les lentilles est donc $L = f'_1 + f'_2 = 910 + 20 = 930$ mm.

Pour une lunette afocale, $G = \dfrac{f'_1}{f'_2}$ (voir la propriété rappelée au début).

On remplace par les valeurs, dans la même unité : $G = \dfrac{910}{20}$.

On calcule : $G = 45{,}5$.

Par définition, $G = \dfrac{\alpha'}{\alpha}$, donc $\alpha' = G\,\alpha$.

On remplace : $\alpha' = 45{,}5 \times 1{,}0\times10^{-3}$.

On calcule : $\alpha' = 4{,}55\times10^{-2}$ rad, soit $0{,}0455$ rad.

L'image intermédiaire est dans le plan focal image de l'objectif ³ : on la voit depuis le centre de l'objectif sous l'angle $\alpha$, à la distance $f'_1$.

Pour un petit angle, $\alpha \approx \dfrac{A_1B_1}{f'_1}$, donc $A_1B_1 = f'_1\,\alpha$.

On calcule avec $f'_1$ en mm : $A_1B_1 = 910 \times 2{,}0\times10^{-3} = 1{,}82$ mm.

Pour un objet à l'infini, l'image intermédiaire se forme dans le plan focal image de l'objectif ³.

Ce plan est aussi le plan focal objet de l'oculaire, car la lunette est afocale : l'image intermédiaire est donc dans le plan focal objet de l'oculaire ³.

L'oculaire en donne alors une image située à l'infini ³.

Un œil sans défaut est adapté à la vision d'objets lointains, à l'infini : devant l'image fournie par une lunette afocale, son cristallin reste au repos et il n'accommode pas ³.

On part de $G = \dfrac{f'_1}{f'_2}$.

On isole l'inconnue : $f'_2 = \dfrac{f'_1}{G}$.

On calcule : $f'_2 = \dfrac{910}{70} = 13$ mm.

Les deux détails sont séparés si l'angle sous lequel on les voit à travers la lunette atteint au moins $\varepsilon$ : $\alpha' \geq \varepsilon$.

Comme $\alpha' = G\,\alpha$, la condition devient $\alpha \geq \dfrac{\varepsilon}{G}$.

On calcule : $\alpha_{\min} = \dfrac{300}{45{,}5} \approx 6{,}59$ µrad.

À l'œil nu, la calotte est vue sous l'angle $\alpha \approx \dfrac{D}{d}$ (petit angle, en radians).

À travers la lunette : $\alpha' = G\,\alpha = G\,\dfrac{D}{d}$.

La condition d'observation est $\alpha' \geq \varepsilon$, soit $G\,\dfrac{D}{d} \geq \varepsilon$.

On isole la distance : $d \leq \dfrac{G\,D}{\varepsilon}$, donc $d_{\max} = \dfrac{45{,}5 \times 900}{3{,}0\times10^{-4}}$ km.

On calcule : $d_{\max} = 1{,}365\times10^{8}$ km, soit $136{,}5$ millions de kilomètres.

Avec $G = \dfrac{f'_1}{f'_2}$, on a $f'_1 = G\,f'_2 = 30 \times 20 = 600$ mm.

La lunette est afocale, donc la longueur du tube est $L = f'_1 + f'_2$.

On calcule : $L = 600 + 20 = 620$ mm.