Mesurer et construire un angle : cours de 6e

Un angle, tu en croises partout : l'ouverture d'une porte, les aiguilles d'une horloge, le coin d'une feuille, la pente d'un toit. À l'école primaire, tu as surtout comparé des angles entre eux : celui-ci est plus grand, celui-là plus petit, ces deux-là sont pareils. À ce stade, le travail porte sur la grandeur « angle » sans la mesurer avec des nombres.³

En sixième, on franchit une étape. On introduit un instrument, le rapporteur, et une unité, le degré, pour exprimer la mesure d'un angle avec un nombre.³ Le programme attend aussi que tu saches construire un angle d'une mesure donnée.³ Ce cours suit donc deux gestes : mesurer un angle existant, puis construire un angle dont on connaît la mesure. Nous terminerons par la bissectrice, qui relie les deux.

Tu as déjà rencontré la notion d'angle. Ce cours part de là et ne suppose rien d'autre. À la fin, tu sauras :

• nommer et coder un angle correctement ;
• classer un angle (aigu, droit, obtus) et estimer sa mesure avant de mesurer ;
• mesurer un angle avec le rapporteur sans te tromper de graduation ;
• construire un angle de mesure donnée ;
• tracer la bissectrice d'un angle et calculer la mesure des deux angles obtenus.

Le chapitre suivant portera sur les angles particuliers, pour lesquels tout ce qui suit servira de base.

Pour parler d'un angle sans ambiguïté, on le désigne par trois lettres. Le programme note l'angle de sommet O, dont les côtés passent par A et par B, sous la forme $\widehat{AOB}$.¹ La lettre du milieu est toujours celle du sommet. On lit « angle AOB ». On peut aussi écrire $\widehat{BOA}$ : c'est le même angle, car l'ordre des lettres extrêmes n'a pas d'importance.

Pour la mesure, on écrit par exemple $\widehat{AOB} = 50^\circ$. Le petit rond en haut est le symbole du degré. Il ne faut pas l'oublier : « 50 » seul ne dit pas si l'on parle de degrés, de centimètres ou de grammes.

Sur une figure, on code souvent les angles pour montrer ce que l'on sait. Un angle droit se marque par un petit carré dessiné près du sommet.⁶ Deux angles de même mesure se marquent avec le même codage : le même petit arc de cercle, ou le même nombre de petits traits sur l'arc. Ce codage ne remplace pas une justification, mais il rend la figure lisible.

Le mot « droit » vient du latin rectus, qui signifie « debout » : l'image est celle d'une ligne qui se dresse sur une ligne horizontale.⁶ Cette idée de « debout » aide à reconnaître un angle droit : c'est le coin d'une feuille, d'un livre, d'une table.

Un tour complet mesure 360°. Un quart de tour mesure donc $360 \div 4 = 90$ degrés : un angle droit mesure 90°. Un angle plat, moitié d'un tour, mesure 180°, ce qui est bien le double d'un angle droit.

Le rapporteur est l'instrument qui permet de mesurer les angles ; le degré est l'unité dans laquelle on exprime le résultat.³ Un rapporteur est le plus souvent un demi-disque dont le bord est gradué de 0° à 180° (il existe aussi des rapporteurs en disque entier, gradués jusqu'à 360°). Il possède deux graduations : l'une qui part de la gauche, l'autre qui part de la droite. C'est justement là que se cachent les erreurs.

Un autre découpage existe : un angle droit peut aussi se mesurer en 100 grades, unité qu'on appelle aussi « gon ».⁶ Tu n'utiliseras pas les grades au collège, mais cela montre que le degré est un choix de convention. Dans ce cours et tout au long du collège, on ne travaille qu'en degrés.

Un exercice interactif avec un rapporteur virtuel peut t'aider à manipuler l'instrument et à mesurer des angles en 6e.² Mais rien ne remplace l'habitude : mesure dix angles sur ta feuille, estime-les d'abord, puis compare estimation et mesure. En quelques minutes, tes estimations deviendront bien meilleures.

La construction d'un angle d'une mesure donnée fait partie des attendus de la classe de sixième.³ C'est le chemin inverse de la mesure : au lieu de lire un nombre, tu en pars pour dessiner.

On construit parfois un angle dans un exercice plus large. On peut par exemple avoir à construire un triangle rectangle dont on connaît une longueur et un angle aigu.⁴ Dans ce cas, l'angle sert de point de départ : tu le traces d'abord, puis tu places le reste de la figure à l'aide des longueurs données. Dans une telle figure, souviens-toi que l'angle droit se contrôle à l'équerre, tandis que l'autre angle se construit au rapporteur.

Autrement dit, si la bissectrice de $\widehat{AOB}$ est la demi-droite $[OM)$, alors les angles $\widehat{AOM}$ et $\widehat{MOB}$ sont adjacents (ils ont le même sommet, un côté commun, et ne se chevauchent pas) et ont la même mesure. Chacun mesure la moitié de $\widehat{AOB}$ :

$\widehat{AOM} = \widehat{MOB} = \frac{\widehat{AOB}}{2}.$

Pour progresser, adopte une routine simple. Sur chaque angle, écris d'abord ton estimation, puis ta mesure, puis la différence. Si l'écart dépasse 10°, cherche la cause : mauvaise échelle, centre décalé, côté trop court. Après quelques exercices, les erreurs se font rares.

Les exercices qui suivent reprennent les trois gestes du cours : calculer à partir d'une mesure, utiliser l'angle droit, et exploiter la bissectrice.