Les triangles : exercices corrigés de 6e

L'angle droit est en $B$. Le côté opposé à $B$ est $[AC]$ : c'est l'hypoténuse. ⁴

Les deux autres côtés, $[AB]$ et $[BC]$, touchent l'angle droit : ce sont les côtés de l'angle droit (on les appelle aussi cathètes). ⁴

L'hypoténuse mesure 5 cm, contre 3 cm et 4 cm : c'est le plus grand côté du triangle. ⁴

La somme des trois angles d'un triangle vaut $180^\circ$. ³

On additionne les deux angles connus : $50 + 65 = 115$, soit $115^\circ$.

On retranche ce total à $180^\circ$ : $180 - 115 = 65$.

Donc $\widehat{G} = 65^\circ$. Les angles $\widehat{F}$ et $\widehat{G}$ sont égaux : le triangle $EFG$ est donc isocèle en $E$. ³

Le triangle est rectangle en $S$ : l'angle $\widehat{S}$ mesure $90^\circ$.

Les deux angles aigus d'un triangle rectangle sont complémentaires. ⁴

On calcule : $90 - 35 = 55$.

Donc $\widehat{T} = 55^\circ$. Contrôle : $90 + 35 + 55 = 180$, ce qui est bien la somme attendue pour un triangle. ³

Le triangle est isocèle en $A$ : les angles adjacents au côté $[BC]$ sont égaux, ce que confirme l'énoncé avec $38^\circ$ chacun. ³

Somme des deux angles de la base : $38 + 38 = 76$, soit $76^\circ$.

La somme des angles d'un triangle vaut $180^\circ$. ³

On calcule : $180 - 76 = 104$. Donc $\widehat{A} = 104^\circ$.

Un triangle rectangle est la moitié d'un rectangle construit sur les deux côtés de l'angle droit. ⁴

Le rectangle correspondant a pour aire $6 \times 8 = 48$ $\text{cm}^2$.

L'aire du triangle est la moitié : $48 \div 2 = 24$.

Donc l'aire de $KLM$ est $24$ $\text{cm}^2$.

Chaque angle du rectangle est droit : les triangles $PQR$ et $PSR$ sont rectangles, respectivement en $Q$ et en $S$. ⁴

Les côtés de l'angle droit mesurent 12 cm et 5 cm.

Un triangle rectangle est la moitié du rectangle formé sur ses deux côtés de l'angle droit. ⁴

Aire du rectangle : $12 \times 5 = 60$ $\text{cm}^2$. Aire d'un triangle : $60 \div 2 = 30$ $\text{cm}^2$.

Pour un triangle dont la hauteur tombe à l'intérieur, une formule donne l'aire : elle utilise un côté choisi comme base et la hauteur tracée vers ce côté. ¹

La formule s'écrit : $\mathcal{A} = \dfrac{\text{base} \times \text{hauteur}}{2}$.

On remplace : $\mathcal{A} = \dfrac{10 \times 7{,}2}{2}$.

$10 \times 7{,}2 = 72$, puis $72 \div 2 = 36$. L'aire est donc $36$ $\text{cm}^2$.

Un triangle isocèle a au moins deux côtés de même longueur : ici, deux côtés mesurent 7,5 cm. ³

Le périmètre est la somme des trois côtés : $7{,}5 + 7{,}5 + 4$.

$7{,}5 + 7{,}5 = 15$, puis $15 + 4 = 19$.

Le périmètre est donc $19$ cm.

Question 1 : $30 + 60 + 90 = 180$. La somme vaut $180^\circ$, ce qui est exactement la somme des angles d'un triangle. ³

De plus, trois mesures d'angles non nulles dont la somme vaut $180^\circ$ sont toujours celles d'un triangle. ³

Question 2 : ce triangle, appelé triangle de l'écolier, a un côté de l'angle droit égal à la moitié de l'hypoténuse. ³

On calcule : $10 \div 2 = 5$. Ce côté mesure 5 cm.

Question 3 : les deux côtés de l'angle droit mesurent 5 cm et 8,7 cm. L'aire est la moitié de leur produit. ⁴

$5 \times 8{,}7 = 43{,}5$, puis $43{,}5 \div 2 = 21{,}75$. Comme 8,7 cm est un arrondi, on donne l'aire arrondie : environ $22\ \text{cm}^2$.