Les nombres entiers : cours de 6e

Tu utilises des nombres entiers tous les jours : le nombre de pages d'un livre, le prix d'un jeu en euros ronds, le nombre d'élèves de ta classe. En 6e, on ne se contente pas de les compter. On apprend à les lire, à les écrire, à les décomposer, à les comparer et à calculer avec eux, y compris quand ils sont très grands.¹

Ce cours est le point de départ du chapitre sur les nombres entiers et décimaux. Il prépare les cours suivants : les nombres décimaux, comment comparer et ranger des décimaux, puis le repérage sur une demi-droite graduée.

À la fin, tu sauras :

• donner la valeur de chaque chiffre dans un nombre entier ;
• écrire un nombre sous forme décomposée ;
• encadrer un nombre par deux entiers qui se suivent ;
• employer le bon vocabulaire pour les opérations ;
• effectuer et vérifier une division euclidienne.

La valeur d'un chiffre ne dépend pas seulement de lui : elle dépend de sa place dans le nombre, c'est-à-dire de son rang.² Dans $222$, le même chiffre $2$ apparaît trois fois, mais il ne représente pas la même quantité chaque fois.

De la droite vers la gauche, les rangs successifs sont : les unités, les dizaines, les centaines, les milliers, les dizaines de mille, les centaines de mille, les millions. Chaque rang vaut dix fois le rang qui est juste à sa droite.

Des exercices de contrôle de 6e demandent justement de repérer ces rangs : le chiffre des unités de $124$, ou le nombre de centaines de $43\,078$.⁵

Pour lire un grand nombre sans te tromper, regroupe les chiffres par tranches de trois en partant de la droite. On laisse un petit espace entre deux tranches : $3\,072\,481$ et non $3072481$.

On lit ensuite chaque tranche, puis on dit le nom de la tranche : $3$ millions, $72$ mille, $481$.

Ainsi, $3\,072\,481$ se lit « trois millions soixante-douze mille quatre cent quatre-vingt-un ». Pour écrire un nombre qu'on te dicte, fais le chemin inverse : écris chaque tranche, et mets des zéros là où rien n'est dit.

Décomposer un nombre, c'est l'écrire comme une somme où chaque terme montre la valeur d'un chiffre.

Par exemple :

$145\,238 = 100\,000 + 40\,000 + 5\,000 + 200 + 30 + 8$

On peut aussi l'écrire avec des produits :

$145\,238 = 1\times 100\,000 + 4\times 10\,000 + 5\times 1\,000 + 2\times 100 + 3\times 10 + 8\times 1$

Cette écriture explique pourquoi la position compte : chaque chiffre est multiplié par la valeur de son rang. Le nombre $145\,238$ figure parmi les nombres qu'on te demande de lire rang par rang dans les contrôles de 6e.⁵

Pour comparer deux nombres entiers, commence par compter leurs chiffres. Le nombre qui a le plus de chiffres est le plus grand. Ainsi $9\,999 < 10\,000$, même si $9\,999$ commence par un chiffre plus fort.

Si les deux nombres ont autant de chiffres, compare-les de gauche à droite, rang par rang, jusqu'au premier chiffre différent. Entre $48\,215$ et $48\,271$, les trois premiers chiffres sont égaux ; le premier chiffre différent est celui des dizaines : $1 < 7$ donc $48\,215 < 48\,271$.

Pour ranger des nombres dans l'ordre croissant, on les écrit du plus petit au plus grand ; dans l'ordre décroissant, du plus grand au plus petit. On utilise les signes $<$, $>$ et $=$.⁵

Encadrer un nombre par deux entiers consécutifs, c'est trouver l'entier juste en dessous et l'entier juste au-dessus. Les contrôles de 6e demandent d'encadrer par deux entiers consécutifs des nombres comme $6{,}5$, $0{,}943$ ou $99{,}12$.⁵

Tu pourras donc écrire :

$6 < 6{,}5 < 7 \qquad 0 < 0{,}943 < 1 \qquad 99 < 99{,}12 < 100$

Le même principe sert à estimer une mesure : on dit qu'une longueur se trouve entre deux nombres entiers de centimètres, comme le programme le rappelle pour les mesures de longueur.¹

Pour calculer avec les nombres entiers, il faut connaître le nom de chaque élément. On te le demande dans les exercices, et surtout il t'aide à expliquer ta démarche.

Le résultat d'une multiplication s'appelle le produit. Les nombres que l'on multiplie s'appellent les facteurs : dans $3\times 4$, les facteurs sont $3$ et $4$, et le produit est $12$.⁴

Pour une addition, le résultat est la somme et les nombres ajoutés sont les termes. Pour une soustraction, le résultat est la différence. Pour une division, on parle de dividende, de diviseur et de quotient.

Pour calculer avec des nombres plus grands, on pose l'opération en colonnes, en alignant les chiffres de même rang : unités sous unités, dizaines sous dizaines. C'est encore la notion de rang qui commande.

Le reste est toujours plus petit que le diviseur : si le reste était égal ou supérieur au diviseur, tu pourrais encore faire entrer le diviseur une fois de plus dans le dividende, et ton quotient serait trop petit.

Cette division sert à partager équitablement : $47$ billes partagées entre $5$ enfants donnent $9$ billes chacun, et il en reste $2$. Ici $47 = 5\times 9 + 2$ avec $2 < 5$.

Les calculs de 6e s'appuient sur des habitudes qu'il vaut mieux prendre dès maintenant.

Multiplier par 10, 100, 1 000. Chaque chiffre monte d'un rang pour $10$, de deux rangs pour $100$, de trois pour $1\,000$. On ne « rajoute pas des zéros » sans comprendre : $35\times 100 = 3\,500$ parce que les $3$ dizaines deviennent $3$ milliers et les $5$ unités deviennent $5$ centaines.

Estimer avant de calculer. Pour $398\times 5$, tu peux penser $400\times 5 = 2\,000$. Le résultat exact doit être un peu plus petit : $1\,990$. Si tu trouves $19\,900$, ton estimation t'alerte.

Le programme demande d'ailleurs de savoir calculer avec des entiers et des décimaux.¹