Résoudre un problème : exercices corrigés de méthodologie

Comprendre : on cherche la monnaie rendue. Il y a deux achats différents : il faut calculer chaque prix, puis le total, puis la monnaie rendue.

Prix des cahiers : $3 \times 2{,}40 = 7{,}20$ €.

Prix des stylos : $2 \times 1{,}35 = 2{,}70$ €.

Dépense totale : $7{,}20 + 2{,}70 = 9{,}90$ €.

Monnaie rendue : $20 - 9{,}90 = 10{,}10$ €.

Vérifier : la dépense (9,90 €) est inférieure à 20 €, et $9{,}90 + 10{,}10 = 20$ €. Le résultat est cohérent.

Trier les données : l'heure de départ (8 h), le poids du sac (4 kg) et la pause ne servent pas à calculer une distance. On garde les vitesses et les durées de roulage.

Premier trajet : $18 \times 2 = 36$ km.

Second trajet : $15 \times 1 = 15$ km.

Distance totale : $36 + 15 = 51$ km.

Vérifier : l'ordre de grandeur est correct, car environ 17 km/h de moyenne pendant 3 h donnent un peu plus de 50 km.

Schématiser : une barre représente les garçons ; la barre des filles est identique, avec un morceau de 4 en plus. L'ensemble des deux barres fait 28.

Retire le morceau en trop : $28 - 4 = 24$ élèves. Ces 24 élèves se répartissent en deux groupes égaux.

Nombre de garçons : $24 \div 2 = 12$.

Nombre de filles : $12 + 4 = 16$.

Vérifier : $12 + 16 = 28$ et $16 - 12 = 4$. Les deux informations de l'énoncé sont respectées.

Variante avec une équation : si $x$ est le nombre de garçons, on écrit $x + (x + 4) = 28$, soit $2x + 4 = 28$, donc $x = 12$. On retrouve le même résultat.

Stratégie : on connaît le résultat final et on cherche le départ. On remonte l'histoire en sens inverse, ce qui revient à partir de ce que l'on cherche ⁴.

Avant la boulangerie, Maya avait $9 + 6 = 15$ €.

Ces 15 € sont ce qui restait après le cinéma, c'est-à-dire la moitié de la somme de départ.

Somme de départ : $15 \times 2 = 30$ €.

Vérifier en avançant : la moitié de 30 € est 15 € ; on retire 6 € : $15 - 6 = 9$ €. C'est bien ce que dit l'énoncé.

Avec une équation : $x - \dfrac{x}{2} - 6 = 9$, donc $\dfrac{x}{2} = 15$, donc $x = 30$.

Comprendre : la longueur dépend de la largeur ($L = 2l + 3$) et le périmètre doit valoir 30 cm.

Essais organisés : largeur 2 cm donne longueur 7 cm et périmètre $2 \times (2 + 7) = 18$ cm, c'est trop petit. Largeur 5 cm donne longueur 13 cm et périmètre $2 \times (5 + 13) = 36$ cm, c'est trop grand.

Il faut donc une largeur entre 2 et 5 cm. Largeur 4 cm donne longueur 11 cm et périmètre $2 \times (4 + 11) = 30$ cm. Gagné.

Cette méthode d'essai et d'ajustement est une vraie stratégie de résolution, signalée dans les textes officiels pour les problèmes qui ne sont ni additifs ni multiplicatifs ⁴.

Confirmer par une équation : $2 \times (l + 2l + 3) = 30$, donc $3l + 3 = 15$, donc $l = 4$.

Vérifier : $11 = 2 \times 4 + 3$ et $2 \times (4 + 11) = 30$.

Comprendre : on compare deux prix qui dépendent de la durée. On cherche le plus petit nombre d'heures entières pour lequel A coûte moins cher que B.

Tableau : pour 1 h, A coûte 10 € et B coûte 5 €. Pour 2 h, A coûte 12 € et B coûte 10 €. Pour 3 h, A coûte 14 € et B coûte 15 €. Pour 4 h, A coûte 16 € et B coûte 20 €.

À 2 h, B est encore moins chère ; à 3 h, A passe devant. La réponse semble être 3 h.

Modéliser : le prix de A est $8 + 2h$ et celui de B est $5h$. On veut $8 + 2h < 5h$.

On retire $2h$ de chaque côté : $8 < 3h$, donc $h > \dfrac{8}{3}$, soit $h > 2{,}67$ environ.

Le plus petit nombre entier d'heures supérieur à 2,67 est 3.

Vérifier avec le tableau : à 3 h, $14 < 15$. À 2 h, $12 > 10$, donc 2 h ne convient pas.