La forme de la Terre : exercices corrigés de Première

Le géoïde est une surface sur laquelle le potentiel de pesanteur est constant : il correspond à la description (a).⁶

Le topoïde est la surface topographique, avec les reliefs : description (b).⁶

L'ellipsoïde est une figure régulière, un peu aplatie : description (c).⁶

L'hydroïde est la figure d'équilibre hydrostatique : description (d).⁶

Pour la dernière question : il n'existe qu'un seul géoïde, alors que l'on peut concevoir une infinité d'ellipsoïdes, certains ajustés à toute la surface de la Terre, d'autres seulement à une région.⁵

Calcule l'écart absolu : $40\,075 - 39\,375 = 700$ km.

Divise par la valeur de référence : $\dfrac{700}{40\,075} \approx 0{,}01747$.

Multiplie par 100 pour obtenir un pourcentage : $0{,}01747 \times 100 \approx 1{,}75\ \%$.

Interprétation : avec cette valeur, l'estimation est inférieure de moins de 2 % à la valeur actuelle. Ce chiffre dépend toutefois de la conversion du stade, l'unité de l'époque, et d'autres estimations donnent une erreur nettement plus grande.⁶

Écris la relation entre la circonférence et le rayon : $C = 2\pi R$.

Isole $R$ : $R = \dfrac{C}{2\pi}$.

Remplace : $R = \dfrac{40\,075}{2\pi}$.

Calcule : $R \approx 6\,378{,}13$ km.

Vérifie l'ordre de grandeur : un rayon de quelques milliers de kilomètres est cohérent pour une planète de ce type.

Calcule la fraction du cercle : $\dfrac{7{,}2}{360} = \dfrac{1}{50}$.

Traduis la proportionnalité : l'arc de 800 km représente un cinquantième du tour complet.

Multiplie : $C = 800 \times 50 = 40\,000$ km. Cela revient à calculer $800 \times \dfrac{360}{7{,}2}$.

Compare : l'écart avec 40 075 km est de $75$ km, soit moins de $0{,}2\ \%$ de la valeur actuelle.

Un tour complet de méridien représente $360^\circ$ et mesure $40\,075$ km (au sens du modèle).

La longueur est proportionnelle à l'angle : $L(1^\circ) = \dfrac{40\,075}{360}$.

Calcule : $L \approx 111{,}32$ km.

Contrôle : $111{,}32 \times 360 \approx 40\,075$ km, ce qui est cohérent.

Utilise la relation $C = \pi D$, donc $D = \dfrac{C}{\pi}$.

Remplace : $D = \dfrac{39\,375}{\pi}$.

Calcule : $D \approx 12\,533{,}45$ km.

Comparaison : la circonférence de 39 375 km est plus petite que 40 075 km, donc le diamètre obtenu est aussi plus petit.

Réponse à 1 : si l'intérieur de la Terre est plus ou moins fluide, la rotation diurne doit déformer la sphère, qui n'est donc plus la forme d'équilibre.⁶

Réponse à 2 : la forme obtenue est un ellipsoïde de révolution, aplati.⁶

Réponse à 3 : la Terre est en réalité un ellipsoïde faiblement aplati, donc très proche d'une sphère. La valeur de Picard donne ainsi une bonne précision du rayon moyen.⁶

Réponse à 4 : la surface réelle est très irrégulière et complexe, donc on la modélise de plusieurs manières selon l'usage.⁵

Synthèse : un modèle est un compromis entre simplicité et précision, et on choisit celui qui convient à la question posée.