La musique et les nombres : exercices corrigés de 1re

Publié le 7 novembre 2026 · Mis à jour le 7 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

Un intervalle entre deux sons se définit par un rapport, pas par une différence ².
Pour comparer deux sons, on divise la fréquence du plus aigu par celle du plus grave.
Empiler des intervalles revient à multiplier les rapports ; ramener un son dans l'octave revient à diviser par 2.
Dans la gamme tempérée, les douze demi-tons ont le même rapport, $2^{1/12}$ si l'octave vaut 2.

Comment utiliser ces exercices

Depuis l'Antiquité, on associe la musique aux nombres : l'idée que la musique donne accès au réel remonte aux pythagoriciens ⁴. En enseignement scientifique, on regarde cette idée avec les outils d'aujourd'hui : un son est une vibration, et ses hauteurs se comparent par des calculs.

Remarques avant de te lancer

Fiche de calculs à retenir

Après les six exercices, rassemble les gestes de calcul qui reviennent. Tous reposent sur une même idée : ce qui compte pour l'oreille, c'est le rapport entre deux fréquences ². Un écart en hertz ne suffit pas, parce que la même différence peut correspondre à des intervalles très différents selon la hauteur de départ.

Trois opérations suffisent presque toujours : calculer un rapport (une division), enchaîner deux intervalles (une multiplication) et ramener un son dans l'octave (une division par $2$ ). Si tu hésites sur l'opération à choisir, demande-toi d'abord : « est-ce que je compare deux sons, ou est-ce que j'en construis un nouveau ? »

Les exercices

Exercice 1 Le rapport d'une octave

★☆☆Environ 5 min

Un diapason émet un son de fréquence $440$ Hz. On joue ensuite, sur un instrument, un son de fréquence $880$ Hz.

Calcule le rapport entre la fréquence du son aigu et celle du son grave.

Indice 1

Le son aigu est celui de plus grande fréquence : il va au numérateur.

Indice 2

Écris la fraction puis simplifie-la.

Voir la correction pas à pas

On identifie le son aigu ( $880$ Hz) et le son grave ( $440$ Hz).
On écrit le rapport : $\dfrac{880}{440}$ .
On simplifie : $\dfrac{880}{440}=2$ .

Le rapport vaut $2$ , sans unité, car les deux fréquences sont en hertz. Un rapport de $2$ correspond à ce qu'on appelle une octave : le son aigu a une fréquence double de celle du grave.

Exercice 2 Rapport ou différence ?

★☆☆Environ 8 min

On compare deux paires de sons :

paire A : $220$ Hz et $330$ Hz ;
paire B : $440$ Hz et $550$ Hz.

Calcule la différence de fréquences dans chaque paire.
Calcule le rapport (aigu sur grave) de la paire B.
Le rapport de la paire A est $\frac{3}{2}$ . Les deux paires forment-elles le même intervalle ?

Indice 1

Pour la différence, soustrais la fréquence grave à la fréquence aiguë.

Indice 2

Pour le rapport de B, simplifie $\frac{550}{440}$ en divisant haut et bas par $110$ .

Voir la correction pas à pas

Paire A : $330-220=110$ Hz. Paire B : $550-440=110$ Hz. Les deux différences sont égales.
Rapport de la paire B : $\dfrac{550}{440}=\dfrac{5}{4}=1{,}25$ .
Rapport de la paire A : $\dfrac{330}{220}=\dfrac{3}{2}=1{,}5$ .
Les rapports sont différents ( $1{,}5$ et $1{,}25$ ) : les deux paires ne forment pas le même intervalle, bien que l'écart en hertz soit identique.

Une même différence de $110$ Hz donne deux intervalles distincts. C'est la raison pour laquelle on définit l'intervalle par le rapport des fréquences ² : la valeur demandée à la question 2 est $1{,}25$ .

Exercice 3 Empiler deux intervalles

★★☆Environ 10 min

On appelle ici « quinte » un intervalle de rapport $\frac{3}{2}$ . Un musicien part d'un son de fréquence $200$ Hz et monte d'une quinte, puis d'une seconde quinte à partir du nouveau son.

Quelle est la fréquence du dernier son, en hertz ?

Indice 1

Chaque montée multiplie la fréquence par $\frac{3}{2}$ .

Indice 2

Deux montées successives multiplient par $\left(\frac{3}{2}\right)^2$ .

Voir la correction pas à pas

Après la première quinte : $200\times\dfrac{3}{2}=300$ Hz.
Après la seconde quinte : $300\times\dfrac{3}{2}=450$ Hz.
On vérifie avec la formule globale : $200\times\left(\dfrac{3}{2}\right)^2=200\times\dfrac{9}{4}=450$ Hz.

Le dernier son a une fréquence de $450$ Hz. Retiens que deux intervalles qui s'enchaînent s'additionnent à l'oreille, mais leurs rapports se multiplient.

Exercice 4 Revenir dans l'octave

★★☆Environ 10 min

Dans l'exercice précédent, le son final ( $450$ Hz) a une fréquence plus de deux fois plus grande que celle du son de départ ( $200$ Hz) : il dépasse l'octave. On convient qu'un son dont on divise la fréquence par $2$ garde le même nom de note, une octave plus bas.

Calcule le rapport entre $450$ Hz et $200$ Hz.
Divise ce rapport par $2$ pour le ramener entre $1$ et $2$ . Donne le résultat sous forme décimale.

Indice 1

Le premier rapport est $\frac{450}{200}$ , à simplifier.

Indice 2

Diviser par $2$ revient à multiplier la fraction par $\frac{1}{2}$ .

Voir la correction pas à pas

Rapport initial : $\dfrac{450}{200}=\dfrac{9}{4}=2{,}25$ . Il est supérieur à $2$ .
On divise par $2$ : $\dfrac{9}{4}\times\dfrac{1}{2}=\dfrac{9}{8}$ .
En décimal : $\dfrac{9}{8}=1{,}125$ , nombre bien compris entre $1$ et $2$ .

Le rapport ramené dans l'octave vaut $\frac{9}{8}=1{,}125$ . Cette opération (multiplier par $\frac{3}{2}$ puis diviser par $2$ quand on dépasse $2$ ) est la façon de construire pas à pas une suite de notes à partir d'un seul rapport.

Exercice 5 Le demi-ton de la gamme tempérée

★★★Environ 12 min

Dans une gamme tempérée, l'octave est partagée en $12$ demi-tons identiques : passer d'un demi-ton au suivant multiplie toujours la fréquence par le même nombre $r$ . Après $12$ demi-tons, on obtient une octave, de rapport $2$ .

Écris l'équation que vérifie $r$ .
Détermine $r$ et donne une valeur arrondie à $10^{-4}$ .

Indice 1

Douze multiplications successives par $r$ donnent $r^{12}$ .

Indice 2

Pour résoudre $r^{12}=2$ avec $r>0$ , utilise la racine douzième, c'est-à-dire la puissance $\frac{1}{12}$ .

Voir la correction pas à pas

Douze demi-tons multiplient la fréquence par $r^{12}$ , et cela doit valoir $2$ : $r^{12}=2$ .
Comme $r>0$ , on prend la racine douzième : $r=2^{1/12}$ .
À la calculatrice : $r\approx 1{,}059463$ .
Arrondi à $10^{-4}$ : $r\approx 1{,}0595$ .

Chaque demi-ton multiplie la fréquence par environ $1{,}0595$ . Ici, c'est le rapport constant qui donne des intervalles égaux, pas une différence constante en hertz.

Exercice 6 Une quinte tempérée sur le la 440

★★★Environ 15 min

Dans la gamme tempérée de l'exercice précédent, une quinte correspond à $7$ demi-tons. On part du son de fréquence $440$ Hz.

Exprime le rapport d'une quinte tempérée avec une puissance de $2$ .
Calcule la fréquence du son obtenu, arrondie au centième de hertz.
Compare avec la quinte de rapport $\frac{3}{2}$ à partir de $440$ Hz.

Indice 1

Sept demi-tons : le rapport est $r^7$ avec $r=2^{1/12}$ .

Indice 2

Pour la question 3, calcule $440\times\frac{3}{2}$ et compare.

Voir la correction pas à pas

Sept demi-tons multiplient par $r^7=\left(2^{1/12}\right)^7=2^{7/12}$ .
Valeur du rapport : $2^{7/12}\approx 1{,}4983$ .
Fréquence obtenue : $440\times 2^{7/12}\approx 659{,}26$ Hz.
Avec le rapport $\frac{3}{2}$ : $440\times\dfrac{3}{2}=660$ Hz.
Écart : $660-659{,}26=0{,}74$ Hz environ. Les deux quintes sont très proches mais pas identiques.

La quinte tempérée donne environ $659{,}26$ Hz, contre $660$ Hz pour le rapport simple $\frac{3}{2}$ . La quinte tempérée est donc un peu plus petite que la quinte de rapport $\frac{3}{2}$ : le tempérament modifie très légèrement cet intervalle pour que les douze demi-tons soient égaux.

Les questions qu'on se pose

Pourquoi utilise-t-on un rapport et pas une différence de fréquences ?

Parce que l'intervalle entendu dépend du rapport entre les deux sons, et non de leur écart en hertz ². L'exercice 2 le montre : deux paires séparées de $110$ Hz peuvent former des intervalles différents, car leurs rapports ne sont pas égaux.

Dois-je mettre l'aigu ou le grave au numérateur ?

Mets la fréquence du son aigu au numérateur et celle du son grave au dénominateur : le rapport est alors supérieur à $1$ . Si l'énoncé impose l'ordre inverse, suis-le, mais indique-le clairement dans ta réponse.

Sources

Programme visé : Enseignement scientifique - Première - Son et musique, porteurs d'information · Ministère de l'Éducation nationale (Éduscol)

Enseignement scientifique - Première - Son et musique, porteurs d'information, Ministère de l'Éducation nationale (Éduscol). Consulté le 7 novembre 2026.
Ressources pédagogiques - Enseignement scientifique Première, Éduscol. Consulté le 7 novembre 2026.
Document pédagogique : Sons purs et composés, gammes et tempéraments, Éduscol. Consulté le 7 novembre 2026.
Musique, Wikipédia. Consulté le 7 novembre 2026.

Les numéros dans le texte renvoient à ces sources. Une source qui ne dit pas ce qu'on lui fait dire ? Signale-le.

Signaler une erreur sur cette page

La musique et les nombres : exercices corrigés de 1re

L'essentiel

Comment utiliser ces exercices

Remarques avant de te lancer

Fiche de calculs à retenir

Les exercices

Exercice 1 Le rapport d'une octave

Exercice 2 Rapport ou différence ?

Exercice 3 Empiler deux intervalles

Exercice 4 Revenir dans l'octave

Exercice 5 Le demi-ton de la gamme tempérée

Exercice 6 Une quinte tempérée sur le la 440

Les questions qu'on se pose

Sources

Primaire

Collège

Lycée

Supérieur