Radioactivité et décroissance : exercices corrigés de 1re

On compte les demi-vies écoulées : $n = \dfrac{t}{T} = \dfrac{24\ \text{jours}}{8\ \text{jours}} = 3$.

On divise trois fois par 2, donc par $2^3 = 8$.

On calcule : $N = \dfrac{8{,}0\times 10^{6}}{8} = 1{,}0\times 10^{6}$ noyaux.

La durée vaut $4T$ : on a donc $n = 4$ demi-vies.

On construit la suite : $100\ \% \to 50\ \% \to 25\ \% \to 12{,}5\ \% \to 6{,}25\ \%$.

Avec la formule : $\dfrac{100}{2^4} = \dfrac{100}{16} = 6{,}25\ \%$.

Le nombre de noyaux passe de 800 à 400 (la moitié) entre $t=0$ et $t=6$ h : la demi-vie est donc $T = 6$ h.

On vérifie avec la ligne suivante : de 400 à 200, c'est encore la moitié en 6 h. La demi-vie est bien constante.

À $t = 18$ h, le nombre de demi-vies écoulées est $n = \dfrac{18}{6} = 3$.

On divise 800 par $2^3 = 8$ : $N(18\ \text{h}) = \dfrac{800}{8} = 100$ milliers de noyaux.

On cherche $n$ tel que $\dfrac{100}{2^n} = 12{,}5$, donc $2^n = \dfrac{100}{12{,}5} = 8$.

Comme $8 = 2^3$, on trouve $n = 3$ demi-vies.

L'âge est la durée de ces trois demi-vies : $t = n \times T = 3 \times 5000 = 15\,000$ ans.

Pour A : $n_A = \dfrac{12}{2} = 6$ demi-vies, donc $N_A = \dfrac{N_0}{2^6} = \dfrac{N_0}{64}$.

Pour B : $n_B = \dfrac{12}{6} = 2$ demi-vies, donc $N_B = \dfrac{N_0}{2^2} = \dfrac{N_0}{4}$.

On forme le rapport : $\dfrac{N_B}{N_A} = \dfrac{N_0/4}{N_0/64} = \dfrac{64}{4} = 16$.

On veut $\dfrac{640}{2^n} = 5$, donc $2^n = \dfrac{640}{5} = 128$.

Comme $128 = 2^7$, on obtient $n = 7$ demi-vies.

Chaque demi-vie dure $3$ min, donc $t = 7 \times 3 = 21$ min.

Après 10 jours (une demi-vie), la moitié des noyaux a disparu : il en reste $50\ \%$.

Après 20 jours (deux demi-vies), on divise encore par 2 : il reste $25\ \%$ des noyaux, pas $0\ \%$.

Pour un noyau seul, la durée de vie ne se prévoit pas : l'instant de sa désintégration est aléatoire. La demi-vie décrit seulement le comportement d'un grand nombre de noyaux.