Calculatrice et usage raisonné : exercices corrigés de 1re

Total du barème : $6 + 14 = 20$ points, ce qui correspond bien à la note maximale de l'épreuve.

Points de l'élève : $4{,}5 + 9$.

On additionne les parties décimales et entières : $4{,}5 + 9 = 13{,}5$.

On vérifie l'ordre de grandeur : $13{,}5$ est inférieur à $20$, et supérieur à $9$, donc le résultat est cohérent.

On écrit $25 \times 48 = \dfrac{100}{4} \times 48$.

On regroupe : $\dfrac{100}{4} \times 48 = 100 \times \dfrac{48}{4}$.

On calcule $\dfrac{48}{4} = 12$.

On multiplie : $100 \times 12 = 1200$.

Contrôle : $25 \times 50 = 1250$, et $48$ est un peu plus petit que $50$, donc un résultat un peu inférieur à $1250$ est cohérent.

On met sur le dénominateur $8$ : $\dfrac{3}{4} = \dfrac{3 \times 2}{4 \times 2} = \dfrac{6}{8}$.

On additionne : $\dfrac{6}{8} + \dfrac{5}{8} = \dfrac{11}{8}$.

On teste la simplification : $11$ est un nombre premier qui ne divise pas $8$, la fraction est donc irréductible.

Écriture décimale : $\dfrac{11}{8} = 1 + \dfrac{3}{8} = 1{,}375$, car $\dfrac{3}{8} = 0{,}375$ ($3 \div 8$ se pose à la main).

Contrôle : $\dfrac{3}{4} = 0{,}75$ et $\dfrac{5}{8} = 0{,}625$ ; leur somme vaut $1{,}375$.

Montant de la remise : $80 \times \dfrac{30}{100} = 80 \times 0{,}3$.

On calcule $80 \times 0{,}3 = 24$ : la remise est de $24$ €.

Prix à payer : $80 - 24 = 56$ €.

Autre méthode : une baisse de $30\ \%$ correspond au coefficient $1 - 0{,}3 = 0{,}7$.

On calcule $80 \times 0{,}7 = 56$ €, ce qui confirme le résultat.

On pose $a = 2\sqrt{3}$ et $b = 1$ : l'expression est de la forme $(a+b)(a-b)$.

On applique l'identité : $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$.

On calcule $a^2 = (2\sqrt{3})^2 = 2^2 \times (\sqrt{3})^2 = 4 \times 3 = 12$.

On calcule $b^2 = 1^2 = 1$.

On conclut : $A = 12 - 1 = 11$.

Contrôle d'ordre de grandeur : $2\sqrt{3}$ vaut un peu moins de $3{,}5$, donc les deux facteurs valent environ $4{,}5$ et $2{,}5$ ; leur produit est proche de $11$.

Pour $\sqrt{50}$ : on sait que $7^2 = 49$ et $8^2 = 64$.

On a donc $49 < 50 < 64$.

La fonction racine carrée est strictement croissante sur $[0\,;+\infty[$, donc $\sqrt{49} < \sqrt{50} < \sqrt{64}$, soit $7 < \sqrt{50} < 8$.

Pour $\sqrt{200}$ : on calcule $14^2 = 196$ et $15^2 = 225$.

On a $196 < 200 < 225$, donc $14 < \sqrt{200} < 15$.

Remarque : $\sqrt{200} = \sqrt{100 \times 2} = 10\sqrt{2}$, et $\sqrt{2}$ est un peu supérieur à $1{,}4$ ; on retrouve une valeur voisine de $14{,}1$, cohérente avec l'encadrement.

On retranche $2x$ aux deux membres : $5x - 2x - 7 = 11$, soit $3x - 7 = 11$.

On ajoute $7$ aux deux membres : $3x = 18$.

On divise par $3$ : $x = 6$.

Vérification à gauche : $5 \times 6 - 7 = 30 - 7 = 23$.

Vérification à droite : $2 \times 6 + 11 = 12 + 11 = 23$.

Les deux membres sont égaux, donc $6$ est bien solution.

Avec $100$ € : après la hausse, $100 \times 1{,}2 = 120$ €.

Après la baisse : $120 \times 0{,}8 = 96$ €. Le prix final est différent du prix initial : l'affirmation est fausse.

Coefficient global : $1{,}2 \times 0{,}8 = 0{,}96$.

Taux global : $0{,}96 - 1 = -0{,}04$, soit $-4\ \%$.

Contrôle : avec $100$ €, une baisse de $4\ \%$ donne bien $96$ €.

On remplace $x$ : $f(2+\sqrt{3}) = (2+\sqrt{3})^2 - 4(2+\sqrt{3}) + 1$.

On développe le carré : $(2+\sqrt{3})^2 = 4 + 4\sqrt{3} + 3 = 7 + 4\sqrt{3}$.

On distribue : $-4(2+\sqrt{3}) = -8 - 4\sqrt{3}$.

On additionne : $7 + 4\sqrt{3} - 8 - 4\sqrt{3} + 1$.

On regroupe les nombres : $7 - 8 + 1 = 0$ ; les termes en $\sqrt{3}$ se compensent : $4\sqrt{3} - 4\sqrt{3} = 0$.

On obtient $f(2+\sqrt{3}) = 0$.

Contrôle d'ordre de grandeur : $2+\sqrt{3} \approx 3{,}7$, donc $x^2 \approx 13{,}7$ et $4x \approx 14{,}8$ ; $13{,}7 - 14{,}8 + 1$ est proche de $0$.