Automatismes : exercices corrigés pour l'épreuve de Première

On cherche $\frac{2}{3}$ de 90, c'est-à-dire le calcul $\frac{2}{3} \times 90$.

On commence par le tiers : $90 \div 3 = 30$.

Deux tiers valent le double d'un tiers : $2 \times 30 = 60$.

Contrôle de cohérence : 60 est bien plus grand que la moitié de 90 (soit 45) et plus petit que 90, ce qui convient pour deux tiers.

Le coefficient multiplicateur d'une baisse de 15 % est $1 - 0{,}15 = 0{,}85$.

Le prix soldé est donc $240 \times 0{,}85$.

Calcul : $240 \times 0{,}85 = 240 \times 0{,}8 + 240 \times 0{,}05 = 192 + 12 = 204$.

Vérification par l'autre voie : 10 % de 240 font 24, 5 % font 12, la remise totale est de 36 €, et $240 - 36 = 204$.

On retire 7 des deux côtés de l'égalité : $3x = 25 - 7 = 18$.

On divise ensuite les deux côtés par 3 : $x = \frac{18}{3} = 6$.

Vérification : en remplaçant $x$ par 6, on obtient $3 \times 6 + 7 = 18 + 7 = 25$, ce qui correspond bien au second membre.

La hausse de 20 % correspond au coefficient $1 + 0{,}20 = 1{,}2$.

La baisse de 20 % correspond au coefficient $1 - 0{,}20 = 0{,}8$.

Le prix final vaut $50 \times 1{,}2 \times 0{,}8$.

On calcule étape par étape : $50 \times 1{,}2 = 60$, puis $60 \times 0{,}8 = 48$.

Contrôle : $1{,}2 \times 0{,}8 = 0{,}96$, donc le prix final est 96 % du prix initial, soit un peu moins que 50 €. Le résultat 48 est cohérent.

La variation vaut $92 - 80 = 12$ abonnés.

On divise cette variation par la valeur de départ : $\frac{12}{80} = 0{,}15$.

On convertit en pourcentage : $0{,}15 = 15\,\%$.

Vérification avec le coefficient multiplicateur : $80 \times 1{,}15 = 80 + 12 = 92$, ce qui redonne bien la valeur finale.

On cherche dans la deuxième ligne du tableau la valeur 7 : elle se trouve dans la dernière colonne.

La colonne correspondante donne $x = 5$.

Contrôle par le calcul : on résout $2x - 3 = 7$, ce qui donne $2x = 10$, puis $x = 5$.

Les deux méthodes concordent, et le tableau confirme que $f(5) = 2 \times 5 - 3 = 7$.

On convertit la durée : 15 min valent $\frac{15}{60} = \frac{1}{4}$ h, donc 1 h 15 min valent $1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4}$ h, soit 1,25 h.

La vitesse moyenne est la distance divisée par la durée : $v = \frac{90}{1{,}25}$.

Pour diviser, on multiplie par l'inverse : $90 \times \frac{4}{5} = \frac{360}{5} = 72$.

Contrôle de cohérence : en 1 h, le cycliste roule 72 km ; en 1,25 h il roule $72 \times 1{,}25 = 90$ km, ce qui correspond à l'énoncé.