Méthode de seuil et de balayage : exercices de 1re

Chaque mois on ajoute 15 : la suite est arithmétique de raison 15, donc $u_n = 200 + 15n$.

Programme : n = 0, u = 200, puis while u <= 500: on fait u = u + 15 et n = n + 1, enfin print(n).

Par le calcul : $200 + 15n > 500 \iff 15n > 300 \iff n > 20$.

L'inégalité est stricte et $n > 20$ : le plus petit entier est $n = 21$. Vérification : $u_{20} = 500$ (pas strictement supérieur) et $u_{21} = 515$.

Multiplier par 1,03 chaque année donne une suite géométrique de raison 1,03 : $c_n = 1000 \times 1{,}03^n$. Une suite géométrique correspond à un taux d'évolution constant.²

Programme : n = 0, c = 1000, while c <= 1500: puis c = c * 1.03 et n = n + 1, enfin print(n).

Calcul à la main : $c_{13} = 1000 \times 1{,}03^{13} \approx 1\,468{,}53$ €, qui est inférieur à 1 500 €.

Puis $c_{14} \approx 1\,512{,}59$ €, supérieur à 1 500 €. Le premier rang qui convient est 14.

Une baisse de 4 % multiplie l'effectif par $1 - 0{,}04 = 0{,}96$ : la suite est géométrique de raison 0,96, avec $p_n = 5000 \times 0{,}96^n$.

On cherche $p_n < 3000$. La boucle doit continuer tant que le contraire est vrai : while p >= 3000:.

Dans la boucle : p = p * 0.96 et n = n + 1.

Résolution : $0{,}96^n < 0{,}6$. En comparant des valeurs, $0{,}96^{12} \approx 0{,}613$ (trop grand) et $0{,}96^{13} \approx 0{,}588$ (assez petit).

Le premier rang est donc 13.

Programme : n = 0, while n * n <= 2000: puis n = n + 1, enfin print(n).

À la sortie de la boucle, $n^2 > 2000$ pour la première fois, donc n est le plus petit entier cherché.

Contrôle : $44^2 = 1\,936$, qui est inférieur à 2 000, et $45^2 = 2\,025$, qui est supérieur.

Donc $44 < \sqrt{2000} < 45$ et le plus petit entier qui convient est 45.

Initialisation : n = 0 et s = 0.

Boucle : while s < 500: puis n = n + 1 et s = s + n. On ajoute le nouveau rang à la somme avant de tester à nouveau.

Résultat attendu : à la sortie, s >= 500 pour la première fois.

Vérification avec la formule : $S_{31} = \frac{31 \times 32}{2} = 496$, qui est inférieur à 500.

Puis $S_{32} = \frac{32 \times 33}{2} = 528$, qui est supérieur ou égal à 500. Le premier rang est 32.

La probabilité de rater un tir est $0{,}9$. Les tirs étant indépendants, rater les $n$ tirs a pour probabilité $0{,}9^n$. L'événement contraire « au moins une réussite » a pour probabilité $1 - 0{,}9^n$. C'est un cas de loi binomiale, où l'on cherche une taille d'échantillon qui atteint un niveau fixé.¹

Programme : n = 0, while 1 - 0.9**n < 0.95: puis n = n + 1, enfin print(n).

Calcul : $1 - 0{,}9^n \geq 0{,}95 \iff 0{,}9^n \leq 0{,}05$.

Test : $0{,}9^{28} \approx 0{,}0523$, encore supérieur à 0,05. Puis $0{,}9^{29} \approx 0{,}0471$, inférieur à 0,05.

Le plus petit nombre de tirs est donc 29.