Mathématiques (spécialité) · PremièreÉpreuve anticipée de mathématiques

Méthode de seuil et de balayage : fiche de 1re spécialité

Publié le 7 novembre 2026 · Mis à jour le 7 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

Un problème de seuil cherche le premier rang $n$ à partir duquel une grandeur dépasse (ou passe sous) une valeur donnée.
Le balayage consiste à tester les rangs un par un : 0, 1, 2… jusqu'à ce que la condition soit remplie.
En Python, on utilise une boucle while quand on ignore combien de rangs il faudra tester.
La condition de la boucle est le contraire de ce qu'on cherche ; on met à jour la valeur et le compteur dans la boucle.
Vérifie toujours le résultat en calculant les termes aux rangs $n-1$ et $n$ .

Le principe : qu'est-ce qu'un problème de seuil ?

Une suite géométrique sert à décrire une grandeur qui évolue par étapes avec un taux d'évolution toujours identique ². Exemple : un capital placé qui augmente de 5 % à chaque année. La question naturelle est alors : « au bout de combien d'années aura-t-il doublé ? »

La méthode en Python

ExempleUn capital qui augmente de 5 % par an

On pose $u_0=100$ et $u_{n+1}=1{,}05\,u_n$ . On cherche le premier rang tel que $u_n>200$ .

def seuil():
    n = 0
    u = 100
    while u <= 200:
        u = 1.05 * u
        n = n + 1
    return n

L'appel seuil() renvoie 15. Contrôle : $u_{14}=100\times 1{,}05^{14}\approx 197{,}99$ est encore sous 200, alors que $u_{15}\approx 207{,}89$ le dépasse.

Initialiseru prend la valeur de départ, n vaut 0.
TesterTant que le seuil n'est pas atteint, on continue.
AvancerCalculer le terme suivant, ajouter 1 à n.
RenvoyerÀ la sortie, n est le premier rang cherché.

Les étapes d'un algorithme de seuil · Le schéma de la boucle while pour un seuil.

Variantes et vérifications

MéthodeBalayage avec une liste

Quand on connaît une borne raisonnable pour $n$ , on peut balayer les rangs avec une liste en compréhension :

[n for n in range(50) if 100 * 1.05**n > 200][0]

La liste contient tous les rangs qui conviennent ; le premier élément est le seuil cherché, ici 15. Cette écriture échoue si la liste est vide, donc si la borne 50 est trop petite.

Les questions qu'on se pose

Pourquoi ne pas simplement résoudre une inéquation ?

Parfois on le fait : pour une suite géométrique, la résolution par le calcul fait partie des méthodes attendues ². L'algorithme est utile quand l'inéquation est difficile à résoudre, ou quand l'énoncé demande explicitement un programme.

Comment être sûr que mon résultat est le premier rang qui convient ?

Calcule le terme au rang trouvé, puis celui du rang précédent. Le premier doit vérifier la condition, le second non. Si la suite est croissante, aucun rang plus petit ne peut convenir.

Sources

Ressources Éduscol - Algorithmique et programmation en première (mathématiques spécialité), Éduscol. Consulté le 7 novembre 2026.
Ressources - Algorithmique et programmation en première générale, Éduscol. Consulté le 7 novembre 2026.
Diaporama algorithmique (ressources académiques - Mathématiques Lycée), Académie de Strasbourg. Consulté le 7 novembre 2026.

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