Nombres réels en flottants : fiche de révision NSI Première
Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
Un flottant s'écrit comme une notation scientifique en binaire : une mantisse et un exposant2.
Un ordinateur ne peut pas représenter exactement tous les réels : il en garde une approximation1.
L'ensemble des flottants est fini, alors que celui des réels ne l'est pas 2.
Des erreurs d'arrondi apparaissent, par exemple avec 1,1 en base 2 3.
Réflexe : ne jamais compter sur une égalité exacte entre deux résultats de calculs sur des flottants.
Pourquoi des flottants ?
En mémoire, tout est stocké avec un nombre limité de bits. Pour un entier, c'est simple : on écrit sa valeur en base 2. Pour un nombre réel comme 1,1 ou 31, le développement peut être sans fin : il faut donc choisir une méthode qui garde une valeur proche.
Elle s'oppose à la virgule fixe, où l'on indique un nombre entier de sous-multiples de l'unité. Par exemple, « 1234,567 » se lit comme 1234567 millièmes 2. Avec la virgule flottante, la position de la virgule « flotte » : c'est l'exposant qui la règle.
Le principe : mantisse et exposant
Tu connais la notation scientifique décimale : 1234,567=1,234567×103. Un flottant fonctionne de la même façon, mais avec la base 2 2. On le décompose en :
un signe ;
une mantisse, qui contient les chiffres significatifs ;
un exposant, qui indique de combien on décale la virgule.
Cette écriture garde toujours le même nombre de chiffres significatifs dans la mantisse, sans zéro inutile au début : la précision est donc préservée quelle que soit la taille du nombre 2.
Un flottant n'est qu'une approximation
La raison est simple : l'ensemble des flottants est fini, alors que les réels sont en nombre infini 2. Entre deux flottants consécutifs, il existe des réels qui ne peuvent pas être écrits.
Les pièges des calculs sur flottants
Réflexes pour l'épreuve
Ce chapitre prolonge l'écriture des entiers en base 2 et la représentation des entiers relatifs. Il prépare la suite sur les booléens et sur l'encodage des caractères, où l'on retrouve la même idée : tout est codé avec un nombre fini de bits.
Questions flash
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La virgule flottante équivaut à la notation scientifique en numération binaire 2. La deuxième réponse décrit une idée voisine mais en base 10 et sans exposant. La troisième est fausse : il est impossible de représenter exactement tous les réels 1.
C'est faux : l'ensemble des flottants est fini 2 et il est impossible de représenter exactement tous les réels 1. On peut seulement les approcher d'aussi près qu'on veut en ajoutant des chiffres.
En base 2, 1,1 s'écrit 1,0001100110011… et le codage coupe ce développement, à 52 chiffres binaires en double précision 3. Dire que Python refuse les décimaux est faux : il les accepte mais les traite en flottants binaires approchés 3.
On calcule 1,12=1+21=1,5, puis 1,5×22=1,5×4=6. L'erreur fréquente est d'oublier que la partie après la virgule vaut des puissances négatives de 2 : 1,12 n'est pas 1,1 en décimal.
Contrairement aux réels, l'addition n'est pas associative pour les flottants, d'où l'importance de l'ordre de calcul 2. Une écriture décimale ne garantit rien, puisque la machine calcule avec des flottants binaires 3.
Les questions qu'on se pose
Pourquoi apprend-on cela en NSI ?
Parce que ces approximations expliquent des résultats de programmes qui surprennent. Dans de nombreux langages, les nombres sont lus et affichés en décimal mais calculés en flottants binaires approchés 3. Comprendre le mécanisme évite de chercher une erreur de logique là où il n'y a qu'un arrondi.
Quelle différence entre virgule fixe et virgule flottante ?
En virgule fixe, on compte un nombre entier de sous-multiples de l'unité, comme 1234567 millièmes pour « 1234,567 » 2. En virgule flottante, la position de la virgule dépend d'un exposant, ce qui permet de couvrir un intervalle de valeurs plus large avec le même nombre de bits 2.
Comment comparer deux flottants en programmation ?
Puisque chaque valeur est une approximation 2, on évite l'égalité stricte. On vérifie plutôt que la valeur absolue de leur différence est inférieure à un petit seuil choisi selon la précision attendue.