Énergie potentielle et mécanique : exercices corrigés de 1re

Le niveau de référence est le sol, donc l'altitude du pot est $z = 1{,}5\ \text{m}$.

On applique $E_p = mgz$ avec $m = 2{,}0\ \text{kg}$, $g = 9{,}8\ \text{N/kg}$ et $z = 1{,}5\ \text{m}$.

Calcul : $E_p = 2{,}0 \times 9{,}8 \times 1{,}5 = 29{,}4\ \text{J}$.

On écrit $\Delta E_p = E_{p,f} - E_{p,i} = mg(z_f - z_i)$.

La dénivelée vaut $z_f - z_i = 1\,350 - 1\,200 = 150\ \text{m}$.

Calcul : $\Delta E_p = 70 \times 9{,}8 \times 150 = 102\,900\ \text{J}$, soit environ $1{,}03 \times 10^5\ \text{J}$.

Le signe est positif : l'énergie potentielle a augmenté, ce qui est cohérent avec une montée.

Le poids est constant et vertical, donc $W_{AB}(\vec P) = mg(z_A - z_B)$ ².

La chute mesure $z_A - z_B = 12 - 2{,}0 = 10\ \text{m}$.

Calcul : $W_{AB}(\vec P) = 0{,}40 \times 9{,}8 \times 10 = 39{,}2\ \text{J}$.

Le travail du poids est l'opposé de la variation d'énergie potentielle, donc $\Delta E_p = -39{,}2\ \text{J}$.

Seul le poids travaille, force conservative : $E_m$ se conserve entre le départ (A) et le sol (B) ¹.

Au départ, $v_A = 0$ et $z_A = 5{,}0\ \text{m}$, donc $E_{m,A} = mgz_A$.

À l'arrivée, $z_B = 0$, donc $E_{m,B} = \frac{1}{2}mv_B^2$.

On égalise : $\frac{1}{2}mv_B^2 = mgz_A$, d'où $v_B = \sqrt{2gz_A}$ (la masse se simplifie).

Calcul : $v_B = \sqrt{2 \times 9{,}8 \times 5{,}0} = \sqrt{98} \approx 9{,}9\ \text{m/s}$.

Seul le poids agit : l'énergie mécanique est conservée ¹.

Au lancer : $E_{m,i} = \frac{1}{2}mv_0^2 + 0$.

Au sommet : $v = 0$, donc $E_{m,f} = mgh$.

On égalise : $\frac{1}{2}mv_0^2 = mgh$, soit $h = \dfrac{v_0^2}{2g}$.

Calcul : $h = \dfrac{15^2}{2 \times 9{,}8} = \dfrac{225}{19{,}6} \approx 11{,}5\ \text{m}$.

Sans frottements, $E_m$ est conservée entre le sommet (S) et le point P ¹.

Au sommet : $E_{m,S} = mgz_S$ car $v_S = 0$. Au point P : $E_{m,P} = \frac{1}{2}mv_P^2 + mgz_P$.

On égalise : $\frac{1}{2}mv_P^2 = mg(z_S - z_P)$, d'où $v_P = \sqrt{2g(z_S - z_P)}$.

Calcul : $v_P = \sqrt{2 \times 9{,}8 \times (40 - 15)} = \sqrt{490} \approx 22{,}1\ \text{m/s}$.

a. Seul le poids agit, force conservative : $E_m$ se conserve ¹.

b. La vitesse est constante, donc $E_c$ ne change pas, alors que l'altitude diminue : $E_p$ baisse seule, donc $E_m$ diminue. L'énergie est dissipée par les freins.

c. Le skieur subit des frottements qui travaillent : $E_m$ ne se conserve pas. Elle diminue, même si la vitesse augmente.

d. Seul le poids travaille (la réaction de la piste, perpendiculaire au mouvement, ne travaille pas) : $E_m$ se conserve.

Référence au sol. En haut : $v = 0$ et $z = 3{,}0\ \text{m}$, donc $E_{m,i} = mgz = 30 \times 9{,}8 \times 3{,}0 = 882\ \text{J}$.

En bas : $z = 0$ et $v = 6{,}0\ \text{m/s}$, donc $E_{m,f} = \frac{1}{2}mv^2 = 0{,}5 \times 30 \times 6{,}0^2 = 540\ \text{J}$.

Les deux valeurs sont différentes : l'énergie mécanique n'est pas conservée, il y a des forces non conservatives, ici les frottements ¹.

Énergie dissipée : $882 - 540 = 342\ \text{J}$.

Masse d'eau : $m = 50\,000 \times 1\,000 = 5{,}0 \times 10^{7}\ \text{kg}$.

Énergie potentielle par rapport à la turbine : $E_p = mgz = 5{,}0 \times 10^{7} \times 9{,}8 \times 80 = 3{,}92 \times 10^{10}\ \text{J}$.

Conversion : $\dfrac{3{,}92 \times 10^{10}}{3{,}6 \times 10^{6}} \approx 1{,}09 \times 10^{4}\ \text{kWh}$, soit environ $10\,900\ \text{kWh}$.