Simulation numérique : exercices corrigés de Première SI

On repère les données : mesure $12{,}4$ s, simulation $11{,}8$ s, même unité (secondes).

Écart absolu : $|11{,}8 - 12{,}4| = 0{,}6$ s.

Écart relatif : on divise par la mesure, soit $\dfrac{0{,}6}{12{,}4} \approx 0{,}0484$.

On convertit en pourcentage : $0{,}0484 \times 100 \approx 4{,}84$ %.

La durée et l'incrément sont deux des paramètres de simulation à régler ¹.

On exprime les deux grandeurs dans la même unité : tout est en secondes.

Nombre de pas $= \dfrac{\text{durée}}{\text{incrément}} = \dfrac{2}{0{,}001}$.

On calcule : $2 \div 0{,}001 = 2000$.

Les échelles et les réglages doivent être adaptés à l'amplitude et à la dynamique des grandeurs simulées ¹ : ici, la dynamique est fixée par la période de $0{,}04$ s.

Incrément maximal $= \dfrac{0{,}04}{20} = 0{,}002$ s.

Nombre de pas pour $1$ s : $\dfrac{1}{0{,}002} = 500$.

On vérifie : $500$ pas de $0{,}002$ s font bien $1$ s, soit $25$ périodes de $20$ pas chacune.

Écart absolu : $|3{,}05 - 3{,}20| = 0{,}15$ m/s.

Écart relatif : $\dfrac{0{,}15}{3{,}20} = 0{,}046875$, soit $4{,}6875$ %.

Comparaison au critère : $4{,}6875\ \% \le 5\ \%$.

Conclusion rédigée : pour ce point de fonctionnement, le critère est respecté.

Ligne « faible » : $|2{,}1 - 2{,}0| = 0{,}1$ V.

Ligne « moyenne » : $|3{,}8 - 4{,}0| = 0{,}2$ V. Ligne « forte » : $|6{,}3 - 6{,}0| = 0{,}3$ V.

Moyenne : $\dfrac{0{,}1 + 0{,}2 + 0{,}3}{3} = 0{,}2$ V.

Écarts relatifs : $\dfrac{0{,}1}{2{,}0} = 5\ \%$, $\dfrac{0{,}2}{4{,}0} = 5\ \%$, $\dfrac{0{,}3}{6{,}0} = 5\ \%$.

Remarque : l'écart absolu grandit avec la tension, mais l'écart relatif reste constant à $5$ %.

Après $n$ itérations : $e_n = 12 \times 0{,}75^n$ (en %).

On cherche le plus petit entier $n$ tel que $12 \times 0{,}75^n < 5$.

Test : $e_1 = 9$, $e_2 = 6{,}75$, $e_3 = 5{,}0625$ : ce dernier est encore supérieur à $5$.

Test : $e_4 = 12 \times 0{,}75^4 = 3{,}796875$, inférieur à $5$.

Vérification par le calcul : $n > \dfrac{\ln(5/12)}{\ln(0{,}75)} \approx 3{,}04$, donc le premier entier convenable est $4$.

Avec $0{,}001$ s : $2000$ pas, soit $2000 \times 0{,}0005 = 1$ s de calcul.

Avec $0{,}0001$ s : $\dfrac{2}{0{,}0001} = 20\,000$ pas.

Temps de calcul : $20\,000 \times 0{,}0005 = 10$ s.

Interprétation : le temps de calcul est multiplié par $10$ quand l'incrément est divisé par $10$.

Justification : on affine l'incrément si une grandeur varie vite devant le pas actuel, ou si l'écart avec la mesure vient d'un pas trop grossier et non du modèle lui-même.

Le domaine de validation est $[0\ ;\ 2]$ kg. La charge de $10$ kg est en dehors de ce domaine : le raisonnement du camarade n'est pas correct.

Un modèle est construit pour un usage donné ; l'employer dans un autre contexte a de fortes chances de donner des résultats faux ³.

Avant d'utiliser le modèle à $10$ kg, il faut le confronter à de nouvelles mesures dans ce domaine, quantifier l'écart, puis corriger le modèle si besoin.

Sources d'écart : un modèle théorique incomplet ou erroné (un phénomène négligé), ou des paramètres d'entrée erronés ³.