Mesures et incertitudes : cours de seconde

Tu mesures la longueur d'une table avec une règle, puis tu recommences. Tu lis 120,3 cm la première fois, 120,5 cm la deuxième. Qui a raison ? Personne n'a « faux » : la mesure elle-même varie légèrement d'un essai à l'autre. En sciences, on appelle cela la variabilité d'une mesure.

Cette idée ne va pas de soi. On a tendance à croire qu'un instrument affiche la vérité et que deux résultats différents prouvent une faute. Les ressources pédagogiques sur ce chapitre insistent donc sur un point : il faut te sensibiliser, avec des exemples simples, à la variabilité des valeurs obtenues quand on répète des mesures indépendantes d'une même grandeur. ^{3 2}

Au laboratoire, ce constat change ta façon de travailler. Un résultat sans indication de sa fiabilité est incomplet. Écrire « 120,4 cm » dit peu ; écrire « 120,4 cm avec une incertitude de 0,1 cm » permet de comparer avec une autre valeur, de juger si deux expériences concordent, de décider si une conclusion est solide.

Ce cours répond à trois questions :

• qu'est-ce qu'une incertitude et d'où vient-elle ?
• comment la chiffrer, avec une série de mesures ou avec une seule ?
• comment écrire un résultat final correct ?

Retiens l'idée de dispersion : l'incertitude ne dit pas « je me suis trompé de tant », elle dit « les valeurs plausibles s'étalent sur un intervalle de cette taille ». Elle relève de la statistique, et la qualité d'une mesure en dépend. ⁵

Attention au vocabulaire : dans la vie courante, « incertain » veut dire « douteux ». En métrologie, une mesure peut être très bonne et avoir une petite incertitude. Avoir une incertitude ne signifie pas être mauvais ; ne pas en avoir est impossible.

Si les résultats se dispersent, c'est que plusieurs facteurs agissent à chaque mesurage. Il est utile de les chercher méthodiquement, pour comprendre lesquels pèsent le plus et ne pas en oublier. ⁵

Un outil classique est le diagramme des « 5 M » : Matière (l'objet étudié), Moyen de mesure (l'instrument), Main-d'œuvre (l'opérateur), Méthode, Milieu (l'environnement). ⁵

Parmi les sources d'incertitude, on cite aussi le manque de précision des instruments et les erreurs d'échantillonnage. ⁶ Un instrument gradué au millimètre ne permet pas de lire mieux qu'à peu près ce millimètre : cette limite entre dans l'incertitude.

Une incertitude comporte souvent plusieurs composantes. Certaines sont évaluées par une analyse statistique, d'autres par d'autres moyens. ⁵ On distingue donc deux évaluations.

En pratique au lycée :

• type A quand tu peux répéter la mesure plusieurs fois ; l'estimation statistique est d'autant plus utile que le nombre de mesures est grand ; ⁴
• type B quand tu n'as qu'une seule mesure, faite avec un instrument dont les caractéristiques sont données, par exemple l'incertitude indiquée par le constructeur d'une burette graduée. ^{3 4}

Tu as réalisé $n$ mesures indépendantes de la même grandeur, notées $m_1, m_2, \dots, m_n$. Voici la démarche de calcul.

Il faut distinguer deux incertitudes-types : celle associée à la moyenne d'une série, notée $u(\bar m)$, et celle associée à une mesure isolée. ² L'écart-type $s$ décrit la dispersion d'une mesure individuelle ; la moyenne, elle, est mieux connue, puisque $u(\bar m)$ est plus petit que $s$ dès que $n>1$. En type A, l'écart-type $s$ chiffre directement l'incertitude-type d'une mesure isolée ; celle de la moyenne vaut $s/\sqrt n$. ⁴

Souvent, tu ne mesures qu'une fois : tu lis un volume sur une burette ou une masse sur une balance. Tu n'as alors aucune série à traiter. L'incertitude-type se détermine à partir des caractéristiques de l'instrument, données par le constructeur ou lues sur l'appareil (graduation, tolérance). ^{3 4}

Le calcul n'est qu'une moitié du travail : il faut aussi présenter le résultat clairement. L'incertitude-type permet de choisir le nombre de chiffres significatifs. ³ Une incertitude ne s'écrit pas avec dix décimales : elle est elle-même incertaine, donc on la garde avec très peu de chiffres significatifs, et on arrondit le résultat au même rang décimal qu'elle.

Cette façon de faire sert à valider une démarche scientifique : en étudiant le résultat d'une mesure et son incertitude, tu peux dire si une conclusion est cohérente avec un autre résultat ou avec une valeur de référence. ² À l'échelle de la communauté scientifique, c'est aussi ce qui permet de critiquer, de répliquer et de corriger les études. ⁶

Deux élèves mesurent la même longueur et obtiennent $A = 9{,}8 \pm 0{,}1$ cm et $B = 10{,}0 \pm 0{,}1$ cm. Sont-ils en désaccord ? Leurs valeurs diffèrent de 0,2, soit deux fois l'incertitude de chacun. Leurs intervalles $[9{,}7\,;\,9{,}9]$ et $[9{,}9\,;\,10{,}1]$ se touchent à peine : le désaccord est limite. Avec $\pm 0{,}3$, les intervalles se recouvrent largement et on conclut à un accord.