Mesures et incertitudes : exercices corrigés de 2de

On additionne les cinq valeurs : $2{,}31 + 2{,}35 + 2{,}29 + 2{,}33 + 2{,}32 = 11{,}60$ s.

On divise par le nombre de mesures, ici $5$ : $\dfrac{11{,}60}{5} = 2{,}32$ s.

On vérifie la plausibilité : la moyenne est comprise entre la plus petite valeur ($2{,}29$ s) et la plus grande ($2{,}35$ s), donc le résultat est cohérent.

Situation 1 : il y a une série de mesures répétées et un écart-type est exploité. C'est une analyse statistique : type A.⁵

Situation 2 : il n'y a qu'une mesure unique, et l'information vient des caractéristiques de l'instrument données par le fabricant. Ce n'est pas un traitement statistique : type B.³

Situation 3 : plusieurs mesures répétées de la même grandeur, dont on étudie la dispersion. C'est de nouveau un traitement statistique : type A.³

Moyenne : $\dfrac{10{,}2+10{,}4+10{,}0+10{,}3+10{,}1}{5} = \dfrac{51{,}0}{5} = 10{,}2$ mL.

Écarts à la moyenne : $0$ ; $+0{,}2$ ; $-0{,}2$ ; $+0{,}1$ ; $-0{,}1$ (en mL).

Carrés des écarts : $0$ ; $0{,}04$ ; $0{,}04$ ; $0{,}01$ ; $0{,}01$. Leur somme vaut $0{,}10$ mL².

On divise par $n-1 = 4$ : $\dfrac{0{,}10}{4} = 0{,}025$ mL².

On prend la racine carrée : $s = \sqrt{0{,}025} \approx 0{,}158$ mL.

On identifie les données : $s = 0{,}20$ g et $n = 4$.

On calcule : $u(\bar{m}) = \dfrac{0{,}20}{\sqrt{4}} = \dfrac{0{,}20}{2} = 0{,}10$ g.

On écrit le résultat : $\bar{m} = 25{,}43 \pm 0{,}10$ g.

On repère le cas : mesure unique avec un instrument aux caractéristiques connues, donc évaluation de type B.³

On applique la formule admise : $u = \dfrac{0{,}5}{\sqrt{3}}$ mm.

On calcule : $\sqrt{3} \approx 1{,}732$, donc $u \approx 0{,}2887$ mm.

On arrondit au centième : $u \approx 0{,}29$ mm.

L'incertitude $0{,}12$ cm, arrondie vers le haut à un chiffre significatif, devient $0{,}2$ cm.

Ce chiffre est au rang des dixièmes : on arrondit donc la valeur $12{,}3456$ au dixième.

Le chiffre des centièmes est $4$, inférieur à $5$ : on garde $12{,}3$ cm.

On écrit : $L = 12{,}3 \pm 0{,}2$ cm.

Intervalle du groupe A : $5{,}2 - 0{,}3 = 4{,}9$ et $5{,}2 + 0{,}3 = 5{,}5$, soit $[4{,}9\,;\,5{,}5]$ g.

Intervalle du groupe B : $5{,}6 - 0{,}3 = 5{,}3$ et $5{,}6 + 0{,}3 = 5{,}9$, soit $[5{,}3\,;\,5{,}9]$ g.

Les intervalles se chevauchent sur $[5{,}3\,;\,5{,}5]$ g : un même nombre, par exemple $5{,}4$ g, appartient aux deux.

Conclusion : les deux résultats sont compatibles. Leurs valeurs centrales diffèrent ($0{,}4$ g), mais cette différence reste explicable par les incertitudes annoncées.

Matière : la masse suspendue et la longueur du fil ne sont pas parfaitement identiques d'un essai à l'autre si le fil glisse.⁵

Moyen de mesure : la résolution du chronomètre (par exemple au centième de seconde) limite la précision de chaque relevé.⁵

Main-d'œuvre : l'opérateur déclenche et arrête le chronomètre à la main, avec un décalage variable.⁵

Méthode et milieu : l'amplitude de départ n'est pas toujours la même, et le courant d'air de la fenêtre perturbe le mouvement.⁵

Amélioration possible : fixer le même opérateur et la même amplitude, fermer la fenêtre, puis répéter la série pour exploiter l'écart-type (type A).