Dispersion de la lumière et spectres : exercices de 2de

On écrit la définition de l'indice d'un milieu : $n=\dfrac{c}{v}$ ⁴.

On remplace par les données : $n=\dfrac{3{,}00\times10^{8}}{2{,}00\times10^{8}}$.

Les puissances de dix se simplifient et les unités aussi (m/s au numérateur et au dénominateur) : $n = 1{,}50$.

On part de $n=\dfrac{c}{v}$ ⁴.

On isole la vitesse : $v=\dfrac{c}{n}$.

On calcule : $v=\dfrac{3{,}00\times10^{8}}{1{,}52}\approx 1{,}97\times10^{8}\ \text{m/s}$.

On vérifie : $v<c$, ce qui est cohérent avec un indice supérieur à 1.

Loi de Snell-Descartes : $n_1\sin i_1 = n_2\sin i_2$.

On isole : $\sin i_2=\dfrac{n_1\sin i_1}{n_2}=\dfrac{1{,}00\times\sin 40{,}0^\circ}{1{,}52}$.

Avec $\sin 40{,}0^\circ\approx 0{,}643$, on obtient $\sin i_2\approx 0{,}423$.

On applique $\sin^{-1}$ : $i_2\approx 25{,}0^\circ$.

Contrôle : $i_2<i_1$, le rayon se rapproche de la normale en entrant dans le verre, plus réfringent que l'air.

Rouge : $\sin i_R=\dfrac{\sin 50{,}0^\circ}{1{,}51}\approx\dfrac{0{,}766}{1{,}51}\approx 0{,}507$, donc $i_R\approx 30{,}5^\circ$.

Bleu : $\sin i_B=\dfrac{\sin 50{,}0^\circ}{1{,}53}\approx\dfrac{0{,}766}{1{,}53}\approx 0{,}501$, donc $i_B\approx 30{,}0^\circ$.

Écart : $i_R-i_B\approx 30{,}5^\circ-30{,}0^\circ\approx 0{,}44^\circ$ (calcul fait avec les valeurs non arrondies).

Interprétation : les deux radiations arrivent avec le même angle mais repartent dans des directions différentes. Cela vient d'un indice qui dépend de la radiation, donc d'une vitesse de propagation qui en dépend aussi : c'est le comportement d'un milieu dispersif ⁴.

Dans le vide : $\lambda_0=\dfrac{c}{f}$. Dans le verre : $\lambda=\dfrac{v}{f}$.

La fréquence $f$ est la même dans les deux cas ³. En divisant : $\dfrac{\lambda}{\lambda_0}=\dfrac{v}{c}=\dfrac{1}{n}$.

Donc $\lambda=\dfrac{\lambda_0}{n}=\dfrac{587{,}6}{1{,}50}$.

Calcul : $\lambda\approx 391{,}7\ \text{nm}$.

Si $\dfrac{\lambda_{\max}}{\lambda_{\min}}\approx 2$, alors $\lambda_{\max}\approx 2\times 390=780\ \text{nm}$.

Pour la question 2, on compare les rapports : $\dfrac{10^{15}}{2}=5\times10^{14}$.

On en déduit que le spectre visible n'occupe qu'une très petite fraction du spectre électromagnétique ³.

La lumière blanche est polychromatique : elle contient de nombreuses longueurs d'onde ⁴. Le verre est dispersif, donc l'indice, et par conséquent la déviation, dépend de la longueur d'onde ⁴. Chaque radiation sort dans une direction légèrement différente : les couleurs s'étalent.

Avec une seule radiation, tous les rayons subissent la même déviation. On observe une seule tache (ou un seul trait) colorée sur l'écran, sans étalement. On peut dire que la lumière est monochromatique, au moins approximativement ³.

Pour produire un spectre d'émission, il faut un système dispersif (prisme ou réseau) et un analyseur de spectre pour lire la répartition de l'intensité selon la longueur d'onde ¹⁴.

La lumière du Soleil contient la plupart des couleurs visibles ⁴. Les gouttelettes d'eau en suspension dans l'air la dispersent ⁴.

Pour voir un arc-en-ciel, on doit tourner le dos au Soleil ⁴.

L'indice de l'eau dépend de la radiation : la déviation dépend de la couleur ⁴. Chaque longueur d'onde ressort dans une direction un peu différente, ce qui sépare les couleurs, comme dans le prisme.