Codage des couleurs : exercices corrigés de Seconde

Données : la profondeur est $n = 6$ bits par pixel.

Relation : un bit vaut 0 ou 1, donc $n$ bits donnent $2^n$ combinaisons. On retrouve les valeurs connues : $2^4 = 16$ couleurs avec 4 bits et $2^8 = 256$ couleurs avec 8 bits.²

Calcul : $2^6 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 64$ couleurs.

Comparaison : de 4 à 6 bits, on passe de 16 à 64 couleurs ; de 6 à 8 bits, de 64 à 256. Chaque bit ajouté double le nombre de couleurs, car $2^{n+1} = 2 \times 2^n$.

Principe : la conversion par moyenne remplace les trois composantes par leur moyenne arithmétique.¹

Somme : $200 + 120 + 40 = 360$.

Division : $360 \div 3 = 120$.

Contrôle : 120 est bien compris entre 0 et 255, borne des niveaux de gris.³ Le pixel gris vaut donc 120, et ses trois composantes deviennent $(120, 120, 120)$.

Règle : pour chaque composante $c$, la nouvelle valeur est $255 - c$. Cette opération est possible car chaque composante est comprise entre 0 et 255.³

Rouge : $255 - 200 = 55$.

Vert : $255 - 120 = 135$.

Bleu : $255 - 40 = 215$.

Résultat : le négatif est $(55, 135, 215)$. Le pixel de départ était très rouge, le négatif est très bleu : les rôles s'inversent.

Une composante : un octet compte 8 bits, donc $2^8 = 256$ valeurs possibles, de 0 à 255.⁴³

Trois composantes : le rouge, le vert et le bleu se choisissent indépendamment, on multiplie les nombres de possibilités : $256 \times 256 \times 256$.

Calcul : $256 \times 256 = 65\,536$, puis $65\,536 \times 256 = 16\,777\,216$. On retrouve le total annoncé pour le codage RVB.³

Cohérence : $2^8 \times 2^8 \times 2^8 = 2^{24}$, ce qui correspond bien à 24 bits par pixel.

Rapport : $24 \div 8 = 3$. Un pixel en 24 bits utilise trois fois plus de bits qu'un pixel en 8 bits, mais il distingue $2^{24}$ couleurs au lieu de $2^8 = 256$.

Formule : c'est l'une des deux conversions pondérées utilisées dans les activités de traitement d'images.¹

Rouge : $0{,}299 \times 200 = 59{,}8$.

Vert : $0{,}587 \times 120 = 70{,}44$.

Bleu : $0{,}114 \times 40 = 4{,}56$.

Somme : $59{,}8 + 70{,}44 + 4{,}56 = 134{,}8$. Après arrondi à l'entier, on obtient 135.

Comparaison : la moyenne donnait 120. Dans la moyenne, chaque composante compte pour un tiers. Ici, le bleu, la plus faible composante (40), ne reçoit que le coefficient 0,114, tandis que le rouge (200) et le vert (120) se partagent presque tout le poids (0,299 + 0,587 = 0,886). Les grandes valeurs comptent donc davantage, ce qui relève le gris d'environ 14,8.

Condition : il faut $2^n \geq 200$, avec $n$ entier.

Essai avec 7 bits : $2^7 = 128$, c'est inférieur à 200, donc insuffisant.

Essai avec 8 bits : $2^8 = 256$, c'est supérieur à 200, donc suffisant. Cela correspond au codage sur un octet, qui offre 256 niveaux.⁴

Conclusion sur le minimum : $n = 8$ est le plus petit entier qui convient.

Niveaux disponibles : 256 niveaux, de 0 à 255.³ On dépasse largement les 200 demandés, et la différence ne se perd pas : les 56 niveaux supplémentaires restent utilisables.

Nombre de pixels : $800 \times 600 = 480\,000$ pixels.

Poids d'un pixel : le codage à un octet par canal représente la couleur sur 24 bits.⁴ Comme $24 \div 8 = 3$, chaque pixel occupe 3 octets.

Poids total en 24 bits : $480\,000 \times 3 = 1\,440\,000$ octets, soit environ 1,44 million d'octets.

Cas du 8 bits : un pixel occupe alors $8 \div 8 = 1$ octet. Le poids devient $480\,000 \times 1 = 480\,000$ octets.

Lecture du résultat : passer de 8 à 24 bits triple le poids de l'image. En échange, on passe de 256 couleurs à plus de 16 millions.³