Géolocalisation par satellite : exercices corrigés de Seconde

On identifie les données : $v = 300\,000$ km/s et $t = 0{,}07$ s.

Les unités sont cohérentes (km/s et s), donc aucune conversion n'est nécessaire.

On applique la relation : $d = v \times t = 300\,000 \times 0{,}07$.

On calcule : $300\,000 \times 0{,}07 = 21\,000$.

Le satellite est à $21\,000$ km du récepteur.

Le rayon réel $6400$ km est représenté par $1{,}6$ unité.

Une unité représente donc $6400 \div 1{,}6 = 4000$ km.

La distance réelle du satellite est $25\,600$ km.

On la convertit : $25\,600 \div 4000 = 6{,}4$ unités.

Le satellite se place à $6{,}4$ unités du centre, c'est-à-dire quatre fois le rayon de la sphère du modèle.

De $d = v \times t$, on tire $t = d \div v$.

On calcule en secondes : $t = 22\,000 \div 300\,000 \approx 0{,}07333$ s.

On convertit en millisecondes en multipliant par $1000$ : $0{,}07333 \times 1000 \approx 73{,}33$.

La durée du trajet est d'environ $73{,}33$ ms.

L'erreur de durée est $\Delta t = 10^{-6}$ s.

L'erreur de distance est $\Delta d = v \times \Delta t = 300\,000 \times 10^{-6}$ km.

On calcule : $300\,000 \times 10^{-6} = 0{,}3$ km.

On convertit : $0{,}3$ km $= 300$ m.

Une microseconde d'erreur fausse donc la distance de $300$ m.

Le récepteur est à égale distance de $A$ et $B$ : il se trouve sur la médiatrice de $[AB]$, donc son abscisse est $x = 3$.

Soit $M(3\,;\,y)$ le récepteur et $H(3\,;\,0)$ le milieu de $[AB]$. Le triangle $AHM$ est rectangle en $H$ avec $AH = 3$ et $AM = 5$.

Par Pythagore : $HM^2 = 5^2 - 3^2 = 16$, donc $HM = 4$ et $y = 4$ ou $y = -4$.

Les deux cercles se coupent donc en deux points : $(3\,;\,4)$ et $(3\,;\,-4)$.

On teste avec $C(3\,;\,10)$ : la distance de $(3\,;\,4)$ à $C$ vaut $10 - 4 = 6$, ce qui correspond à l'énoncé. Celle de $(3\,;\,-4)$ à $C$ vaut $14$, ce qui ne convient pas.

Le récepteur est en $(3\,;\,4)$ : son ordonnée vaut $4$ km.

Une distance connue à un satellite place le récepteur sur une sphère centrée sur ce satellite. C'est une infinité de points, donc pas une position.

Deux sphères se coupent selon un cercle : il reste une infinité de positions, mais bien moins.

Une troisième sphère coupe ce cercle en deux points au plus. L'un des deux est en général loin de la Terre (ou dans l'espace), on garde celui de la surface.

Le programme de SNT indique que le récepteur déduit sa position en suivant plusieurs satellites, et que le GPS le fait automatiquement ⁴.

En pratique, l'horloge du récepteur est bien moins précise que celles des satellites. L'heure du récepteur devient une inconnue à calculer, en plus des trois coordonnées de position.

Quatre inconnues demandent quatre mesures : il faut donc au moins quatre satellites, et davantage améliore la fiabilité. Cela explique l'intérêt d'une constellation d'une trentaine de satellites, pour qu'un grand nombre soient toujours au-dessus de l'horizon ⁴.