Physique-chimie (spécialité) · TerminaleBac

Incertitudes de mesure : exercices corrigés de Terminale

Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

Une série de mesures indépendantes se résume par sa moyenne et son écart-type ; l'incertitude-type de la moyenne se calcule à partir d'eux.
Une évaluation de type A repose sur une série de mesures ; une évaluation de type B s'applique à une mesure unique, avec les données de l'instrument.
Le résultat s'écrit avec un nombre adapté de chiffres significatifs : l'incertitude d'abord, puis la valeur arrondie au même rang.
Pour comparer à une valeur de référence, on utilise un critère quantitatif, par exemple l'écart rapporté à l'incertitude-type.
Justesse (proximité de la valeur de référence) et fidélité (faible dispersion) sont deux qualités distinctes d'une mesure.

Comment utiliser ces exercices

Ces exercices portent sur la partie « Mesure et incertitudes » du programme de spécialité de Terminale. Cette partie s'appuie sur des notions de mesure et d'incertitude déjà introduites en classe de seconde ⁵. Le programme demande d'exploiter une série de mesures indépendantes d'une grandeur physique à l'aide d'un histogramme, d'une moyenne et d'un écart-type ⁵. Il demande aussi d'évaluer qualitativement la dispersion d'une série de mesures et de discuter de l'influence de l'instrument de mesure ⁵.

Cherche d'abord seul, sur ta feuille, sans regarder les indices. Si tu bloques, ouvre un indice, puis reprends. Ne consulte la correction qu'une fois ta propre réponse écrite : comparer deux raisonnements apprend davantage que lire une solution toute faite.

MéthodeLes outils de calcul utilisés ici

Pour une série de $n$ mesures indépendantes $x_1, \dots, x_n$ :

la moyenne : $\bar{x} = \dfrac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n}$ ;
l'écart-type expérimental : $s = \sqrt{\dfrac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n-1}}$ ;
l'incertitude-type de la moyenne : $u(\bar{x}) = \dfrac{s}{\sqrt{n}}$ .

Pour une mesure unique dont le fabricant donne une tolérance $\pm a$ , on prend, en supposant que toutes les valeurs de l'intervalle sont équiprobables, $u = \dfrac{a}{\sqrt{3}}$ .

Pour un résultat obtenu par un quotient $R = \dfrac{U}{I}$ , les incertitudes relatives se composent ainsi : $\dfrac{u(R)}{R} = \sqrt{\left(\dfrac{u(U)}{U}\right)^2 + \left(\dfrac{u(I)}{I}\right)^2}$ .

Pour comparer un résultat $x$ à une valeur de référence $x_{\text{réf}}$ , on calcule l'écart normalisé $z = \dfrac{|x - x_{\text{réf}}|}{u(x)}$ . Dans ces exercices, on considère le résultat compatible avec la référence si $z < 2$ . Le programme prévoit bien un critère quantitatif de ce genre pour comparer une mesure à une valeur de référence ⁵.

Convention d'écriture retenue ici : l'incertitude-type est arrondie à deux chiffres significatifs, puis la valeur est arrondie à la même décimale.

Les exercices

Exercice 1 Moyenne d'une série de longueurs

★☆☆Environ 5 min

Une élève mesure cinq fois, avec la même règle graduée, la longueur d'une plaque métallique. Elle obtient, en cm : $12{,}1$ ; $12{,}3$ ; $12{,}2$ ; $12{,}4$ ; $12{,}0$ .

Calcule la valeur moyenne $\bar{L}$ de cette série, en cm.

Indice 1

Additionne les cinq valeurs, puis divise par le nombre de mesures.

Indice 2

La somme des cinq valeurs vaut $61{,}0$ cm.

Voir la correction pas à pas

On additionne les mesures : $12{,}1 + 12{,}3 + 12{,}2 + 12{,}4 + 12{,}0 = 61{,}0$ cm.
On divise par le nombre de mesures, $n = 5$ : $\bar{L} = \dfrac{61{,}0}{5} = 12{,}2$ cm.

La valeur moyenne est $\bar{L} = 12{,}2$ cm. Elle sert de meilleure estimation de la longueur, mais elle ne dit encore rien de la dispersion des mesures : c'est le rôle de l'écart-type.

Exercice 2 Écart-type de la même série

★☆☆Environ 8 min

On reprend la série de l'exercice précédent : $12{,}1$ ; $12{,}3$ ; $12{,}2$ ; $12{,}4$ ; $12{,}0$ cm, de moyenne $12{,}2$ cm.

Calcule l'écart-type expérimental $s$ de cette série, en cm, et donne-le avec trois chiffres significatifs.

Indice 1

Calcule d'abord l'écart de chaque mesure à la moyenne, puis élève-le au carré.

Indice 2

Divise la somme des carrés par $n - 1$ , pas par $n$ .

Voir la correction pas à pas

Écarts à la moyenne : $-0{,}1$ ; $+0{,}1$ ; $0$ ; $+0{,}2$ ; $-0{,}2$ cm.
Carrés des écarts : $0{,}01$ ; $0{,}01$ ; $0$ ; $0{,}04$ ; $0{,}04$ . Leur somme vaut $0{,}10$ cm².
On divise par $n - 1 = 4$ : $\dfrac{0{,}10}{4} = 0{,}025$ cm².
On prend la racine carrée : $s = \sqrt{0{,}025} \approx 0{,}158$ cm.

L'écart-type vaut $s \approx 0{,}158$ cm. Il quantifie la dispersion des mesures autour de la moyenne ; plus il est petit, plus la série est resserrée.

Exercice 3 Incertitude-type d'une moyenne

★☆☆Environ 6 min

Un groupe mesure neuf fois la durée de dix oscillations d'un pendule. L'écart-type de la série vaut $s = 0{,}12$ s.

Calcule l'incertitude-type $u(\bar{T})$ de la valeur moyenne, en s.

Indice 1

L'incertitude-type de la moyenne s'obtient en divisant $s$ par la racine carrée du nombre de mesures.

Indice 2

Ici $\sqrt{9} = 3$ .

Voir la correction pas à pas

On identifie les données : $s = 0{,}12$ s et $n = 9$ .
On applique $u(\bar{T}) = \dfrac{s}{\sqrt{n}} = \dfrac{0{,}12}{\sqrt{9}} = \dfrac{0{,}12}{3}$ .
On calcule : $u(\bar{T}) = 0{,}04$ s.

On trouve $u(\bar{T}) = 0{,}04$ s. La moyenne est trois fois mieux connue qu'une mesure isolée, grâce aux neuf mesures. C'est le calcul que le tableur effectue sur une série de mesures, comme le programme le demande ².

Exercice 4 Combien de mesures faut-il faire ?

★★☆Environ 8 min

Une série de mesures d'une tension présente un écart-type $s = 0{,}30$ V, que l'on suppose peu dépendant du nombre de mesures. On souhaite une incertitude-type sur la moyenne au plus égale à $0{,}05$ V.

Quel est le nombre minimal $n$ de mesures à réaliser ?

Indice 1

Écris la condition $\dfrac{s}{\sqrt{n}} \leq 0{,}05$ et isole $n$ .

Indice 2

Élève au carré les deux côtés de l'inégalité.

Voir la correction pas à pas

On part de la condition : $\dfrac{0{,}30}{\sqrt{n}} \leq 0{,}05$ .
On isole la racine : $\sqrt{n} \geq \dfrac{0{,}30}{0{,}05} = 6$ .
On élève au carré : $n \geq 36$ .
Le nombre minimal de mesures est donc $n = 36$ ; on vérifie : $\dfrac{0{,}30}{\sqrt{36}} = 0{,}05$ V.

Il faut au moins 36 mesures. Diviser l'incertitude par 6 coûte 36 fois plus de mesures : au-delà d'un certain point, mieux vaut améliorer le protocole ou l'instrument que répéter indéfiniment les mesures.

Exercice 5 Évaluation de type B sur une pipette

★★☆Environ 8 min

On prélève un volume avec une pipette jaugée, en une seule fois. Le fabricant indique une tolérance de $\pm 0{,}10$ mL. On suppose que toutes les valeurs de l'intervalle de tolérance sont équiprobables, de sorte que $u = \dfrac{a}{\sqrt{3}}$ où $a$ est la demi-largeur de l'intervalle.

Pourquoi une évaluation de type A est-elle impossible ici ?
Calcule l'incertitude-type $u(V)$ , en mL, avec trois chiffres significatifs.

Indice 1

Une évaluation de type A demande plusieurs mesures indépendantes.

Indice 2

Ici $a = 0{,}10$ mL.

Voir la correction pas à pas

Une seule mesure a été faite : on ne peut calculer ni écart-type ni dispersion. Une évaluation de type B, fondée sur les données du fabricant, convient pour une mesure unique ³.
On identifie la demi-largeur : $a = 0{,}10$ mL.
On calcule : $u(V) = \dfrac{0{,}10}{\sqrt{3}} \approx 0{,}0577$ mL.

L'incertitude-type est $u(V) \approx 0{,}0577$ mL. Elle est plus petite que la tolérance $a$ : la tolérance borne les valeurs possibles, l'incertitude-type décrit leur dispersion typique.

Exercice 6 Écrire correctement un résultat

★★☆Environ 8 min

Le calcul d'une série de pesées donne une moyenne $\bar{m} = 5{,}43716$ g et une incertitude-type $u(\bar{m}) = 0{,}02831$ g.

En suivant la convention de la page d'introduction (incertitude à deux chiffres significatifs, valeur arrondie à la même décimale), écris le résultat sous la forme $m = \bar{m} \pm u(\bar{m})$ , puis donne la borne haute de l'intervalle $[\bar{m} - u ; \bar{m} + u]$ , en g.

Indice 1

Arrondis d'abord l'incertitude à deux chiffres significatifs : ses deux premiers chiffres non nuls.

Indice 2

Arrondis ensuite la moyenne à la même décimale que l'incertitude.

Voir la correction pas à pas

L'incertitude $0{,}02831$ g, arrondie à deux chiffres significatifs, devient $0{,}028$ g. Son dernier chiffre est à la troisième décimale.
On arrondit la moyenne à la troisième décimale : $5{,}43716 \to 5{,}437$ g.
On écrit le résultat : $m = 5{,}437 \pm 0{,}028$ g.
Borne haute : $5{,}437 + 0{,}028 = 5{,}465$ g.

Le résultat s'écrit $m = 5{,}437 \pm 0{,}028$ g et la borne haute vaut $5{,}465$ g. Écrire $5{,}43716$ g aurait suggéré une précision que la mesure n'a pas : le nombre de chiffres significatifs doit refléter l'incertitude ².

Exercice 7 Comparer à une valeur de référence

★★☆Environ 10 min

Un dosage donne une concentration $c = 0{,}102$ mol·L⁻¹ avec une incertitude-type $u(c) = 0{,}003$ mol·L⁻¹. L'étiquette du fabricant indique la valeur de référence $c_{\text{réf}} = 0{,}100$ mol·L⁻¹.

Calcule l'écart normalisé $z = \dfrac{|c - c_{\text{réf}}|}{u(c)}$ .
Le résultat est-il compatible avec la valeur de référence, selon le critère $z < 2$ ?

Indice 1

Calcule d'abord la différence en valeur absolue entre la mesure et la référence.

Indice 2

Divise ensuite par l'incertitude-type, sans oublier que $z$ n'a pas d'unité.

Voir la correction pas à pas

Écart absolu : $|0{,}102 - 0{,}100| = 0{,}002$ mol·L⁻¹.
On divise par l'incertitude-type : $z = \dfrac{0{,}002}{0{,}003} \approx 0{,}667$ .
On compare au critère : $0{,}667 < 2$ , donc le résultat est compatible avec la valeur de référence.

Avec $z \approx 0{,}667$ , l'écart de $0{,}002$ mol·L⁻¹ s'explique par l'incertitude de la mesure : on ne peut pas conclure à une différence réelle avec l'étiquette. Comparer à une valeur de référence est une des démarches attendues dans cette partie du programme ⁵.

Exercice 8 Incertitude composée sur une résistance

★★★Environ 12 min

Pour déterminer une résistance, on mesure la tension à ses bornes, $U = 6{,}00$ V avec $u(U) = 0{,}06$ V, et l'intensité qui la traverse, $I = 0{,}200$ A avec $u(I) = 0{,}004$ A. On calcule $R = \dfrac{U}{I}$ .

Les incertitudes relatives se composent selon $\dfrac{u(R)}{R} = \sqrt{\left(\dfrac{u(U)}{U}\right)^2 + \left(\dfrac{u(I)}{I}\right)^2}$ .

Calcule $R$ , puis l'incertitude-type $u(R)$ , en $\Omega$ , avec trois chiffres significatifs.

Indice 1

Calcule séparément les deux incertitudes relatives $\dfrac{u(U)}{U}$ et $\dfrac{u(I)}{I}$ .

Indice 2

Une fois l'incertitude relative de $R$ connue, multiplie-la par $R$ .

Voir la correction pas à pas

Valeur de la résistance : $R = \dfrac{6{,}00}{0{,}200} = 30{,}0\ \Omega$ .
Incertitudes relatives : $\dfrac{0{,}06}{6{,}00} = 0{,}0100$ et $\dfrac{0{,}004}{0{,}200} = 0{,}0200$ .
Composition : $\dfrac{u(R)}{R} = \sqrt{0{,}0100^2 + 0{,}0200^2} = \sqrt{0{,}000500} \approx 0{,}0224$ .
Incertitude-type : $u(R) = 30{,}0 \times 0{,}02236 \approx 0{,}671\ \Omega$ .

On obtient $R = 30{,}0\ \Omega$ et $u(R) \approx 0{,}671\ \Omega$ , soit $R = 30{,}0 \pm 0{,}7\ \Omega$ si l'on arrondit à un chiffre significatif sur l'incertitude. Remarque : l'intensité pèse davantage (2 %) que la tension (1 %) ; c'est elle qu'il faut améliorer en priorité. Le programme introduit justement une situation de mesure avec incertitudes composées ⁵.

Exercice 9 Justesse et fidélité : deux séries à comparer

★★★Environ 12 min

Deux groupes mesurent la masse volumique d'un même liquide, dont la valeur de référence est $1{,}00$ g·mL⁻¹, chacun avec dix mesures.

Groupe A : moyenne $1{,}04$ g·mL⁻¹, écart-type $0{,}01$ g·mL⁻¹.
Groupe B : moyenne $1{,}00$ g·mL⁻¹, écart-type $0{,}06$ g·mL⁻¹.

Quel groupe a la mesure la plus fidèle ? Justifie.
Quel groupe a la mesure la plus juste ? Justifie.
Propose une source d'erreur qui pourrait expliquer le résultat du groupe A.

Indice 1

La fidélité concerne la dispersion des mesures entre elles, la justesse la proximité avec la valeur de référence.

Indice 2

Une dispersion faible associée à un décalage constant évoque une erreur qui se répète à chaque mesure.

Voir la correction pas à pas

Fidélité : elle se lit sur l'écart-type. Celui du groupe A ( $0{,}01$ ) est six fois plus petit que celui du groupe B ( $0{,}06$ ) : le groupe A est le plus fidèle.
Justesse : elle se lit sur l'écart entre la moyenne et la référence. Le groupe B est à $0{,}00$ de la référence, le groupe A à $0{,}04$ : le groupe B est le plus juste.
Le groupe A mesure de façon très reproductible, mais toujours trop haut : une cause qui agit de la même manière à chaque mesure est probable, par exemple une balance mal tarée, un instrument mal étalonné ou un protocole biaisé, comme une bulle d'air ou une lecture systématiquement décalée du ménisque.
Le groupe B est juste en moyenne, mais ses mesures varient beaucoup d'une fois sur l'autre : sa dispersion est grande, ce que l'on attendrait d'une manipulation peu soignée ou d'un instrument peu précis.

Le groupe A est fidèle mais pas juste ; le groupe B est juste en moyenne mais peu fidèle. Justesse et fidélité sont deux notions distinctes que le programme demande de savoir employer pour caractériser une mesure ³. Les sources d'erreur peuvent tenir à la méthode, à l'imperfection de l'appareil ou à son mauvais usage ⁶.

Les questions qu'on se pose

Pourquoi divise-t-on par n − 1 et non par n dans l'écart-type ?

Avec une petite série, la moyenne est calculée à partir des mêmes mesures que les écarts : les écarts à cette moyenne sont donc un peu trop petits. Diviser par $n - 1$ corrige ce biais. Les calculatrices et les tableurs proposent souvent deux touches ou fonctions ; choisis celle de l'écart-type expérimental (version $n-1$ ). Le programme invite à exploiter ces mesures avec un tableur ou en écrivant un petit programme ⁵ : ces outils fournissent directement le résultat.

Quelle différence entre l'écart-type et l'incertitude-type de la moyenne ?

L'écart-type $s$ décrit la dispersion des mesures individuelles : il ne diminue pas quand tu fais plus de mesures. L'incertitude-type de la moyenne $u(\bar{x}) = s/\sqrt{n}$ décrit la précision avec laquelle on connaît la moyenne : elle diminue quand $n$ augmente. Le résultat final d'une série de mesures s'écrit avec la moyenne et cette incertitude-type ².

Sources

Programme visé : Programme d'enseignement de spécialité de physique-chimie de la classe terminale de la voie générale · Ministère de l'Éducation nationale

Programme d'enseignement de spécialité de physique-chimie de la classe terminale de la voie générale, Ministère de l'Éducation nationale. Consulté le 6 novembre 2026.
Références à la partie « Mesure et incertitudes », Éduscol. Consulté le 6 novembre 2026.
Annexe 3.2.2 — Évaluation des incertitudes et mesures physiques (Spécialité Physique-chimie), Éduscol. Consulté le 6 novembre 2026.
Épreuve terminale de l'enseignement de spécialité physique-chimie, Bulletin officiel. Consulté le 6 novembre 2026.
Programme de physique-chimie de terminale générale (PDF), Ministère de l'Éducation nationale. Consulté le 6 novembre 2026.
Physique-chimie — ressources pour l'évaluation (STL Mesures et Sciences physiques), Ministère de l'Éducation nationale. Consulté le 6 novembre 2026.

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