Rédiger une démonstration : exercices corrigés de 3e (Brevet)

Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ : son hypoténuse est donc le côté $[BC]$.

D'après la propriété admise, on a : $BC^2 = AB^2 + AC^2$.

On remplace : $BC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$.

Comme $BC$ est une longueur, elle est positive : $BC = \sqrt{100} = 10$ cm.

On conclut par une phrase : la longueur $BC$ est égale à 10 cm.

Soient deux entiers pairs. Par définition, il existe deux entiers $a$ et $b$ tels que les deux nombres s'écrivent $2a$ et $2b$.

Leur somme vaut $2a + 2b$.

On factorise : $2a + 2b = 2(a + b)$.

Or $a + b$ est un entier, car la somme de deux entiers est un entier.

Donc la somme s'écrit $2 \times$ (un entier) : elle est paire.

Le plus grand côté du triangle est $[EG]$, qui mesure 13 cm.

On calcule d'un côté : $EG^2 = 13^2 = 169$.

On calcule de l'autre : $EF^2 + FG^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$.

On constate que $EG^2 = EF^2 + FG^2$.

D'après la propriété admise, le triangle $EFG$ est rectangle ; l'angle droit est opposé au plus grand côté $[EG]$, donc il est situé en $F$.

On développe : $(n+1)^2 = n^2 + 2n + 1$.

On soustrait $n^2$ : $(n+1)^2 - n^2 = n^2 + 2n + 1 - n^2$.

Les termes $n^2$ s'annulent : le résultat est $2n + 1$. L'égalité est démontrée pour tout entier $n$.

Pour la question 2, on pose $n = 50$ : alors $n + 1 = 51$.

D'après le résultat de la question 1, $51^2 - 50^2 = 2 \times 50 + 1 = 101$.

Avec 7,5 : $7{,}5 + 3 = 10{,}5$, puis $10{,}5 \times 2 = 21$, puis $21 - 6 = 15$. On obtient 15, soit le double de 7,5 : le test est cohérent avec l'affirmation, mais il ne la prouve pas.

Pour un nombre quelconque $x$, on note le résultat final $R$ et on écrit chaque étape : $x + 3$, puis $2(x+3)$, puis $2(x+3) - 6$.

On développe : $R = 2x + 6 - 6$.

On réduit : $R = 2x$.

Quel que soit $x$, le résultat est $2x$, c'est-à-dire le double du nombre choisi : Léa a raison.

Le triangle $ABC$ est isocèle en $A$ : les angles à la base sont $\widehat{ABC}$ et $\widehat{ACB}$, et ils sont égaux. On note $x$ leur mesure commune.

La somme des angles du triangle $ABC$ vaut $180^\circ$ : $\widehat{BAC} + \widehat{ABC} + \widehat{ACB} = 180^\circ$.

On remplace : $40 + x + x = 180$, donc $2x = 140$.

On divise par 2 : $x = 70$.

L'angle $\widehat{ABC}$ mesure $70^\circ$.

Un exemple unique montre que l'affirmation est vraie pour 3 et 5, mais ne dit rien des autres entiers impairs : ce n'est pas une démonstration.

Soient deux entiers impairs. Il existe des entiers $a$ et $b$ tels que les deux nombres s'écrivent $2a + 1$ et $2b + 1$.

Leur somme vaut $(2a + 1) + (2b + 1) = 2a + 2b + 2$.

On factorise : $2a + 2b + 2 = 2(a + b + 1)$.

Comme $a + b + 1$ est un entier, la somme est de la forme $2 \times$ (un entier) : elle est paire.