Rédiger une démonstration : méthode pour le brevet de maths

Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

Une démonstration est une suite d'étapes de raisonnement correctes, où chaque étape découle de la précédente. ²
Chaque étape se rédige en trois temps : ce que tu sais (donnée), la règle que tu utilises (propriété), ce que tu en déduis (conclusion).
Écris pour un lecteur qui n'a que ta copie sous les yeux : il doit être convaincu sans deviner. ²
Un calcul sans phrase ne démontre rien : annonce ce que tu veux prouver et termine par une phrase de conclusion.
Une propriété déjà démontrée peut resservir dans une autre démonstration. ²

Pourquoi et quand rédiger une démonstration

Au brevet, certaines questions ne se contentent pas d'un résultat : elles demandent « Démontrer que… » ou « Justifier que… ». Dans ce cas, la bonne réponse ne suffit pas. Le correcteur veut lire le chemin qui t'y mène, écrit proprement, étape par étape.

Cette page t'apprend à écrire ce chemin. Tu y retrouves la logique du raisonnement vue dans « Raisonnement et résolution de problèmes », mais mise en forme pour une copie.

« suite d'arguments basée sur des déductions logiques, qui découlent les unes des autres, étape par étape » ²

Cette définition donne les trois qualités à viser. Le raisonnement doit être correct (aucune étape fausse), enchaîné (chaque étape découle de la précédente) et complet (aucun saut que le lecteur devrait combler seul).

Les trois temps d'une étape de raisonnement

Toute démonstration se découpe en petites étapes. Chaque étape suit le même schéma, qu'on peut retenir par trois questions.

AnnoncerDire ce qu'on veut prouver et poser les objets.
DonnéeCiter l'information de l'énoncé ou déjà obtenue.
PropriétéÉnoncer la règle utilisée, conditions vérifiées.
ConclureÉcrire la déduction, puis répondre à la question.

Les étapes pour rédiger une démonstration · Chaque conclusion peut devenir la donnée de l'étape suivante.

Une démonstration achevée peut ensuite servir elle-même : une proposition démontrée est réutilisable dans d'autres démonstrations. ² Au brevet, c'est ce qui t'autorise à appliquer un théorème du cours sans le redémontrer, à condition de vérifier que ses conditions sont remplies.

Un exemple complet rédigé

Prenons un programme de calcul. On choisit un nombre $n$ , on lui ajoute 3, on élève le résultat au carré, puis on retire le carré du nombre de départ. Démontrer que le résultat est $6n+9$ , quel que soit $n$ .

Autre exemple, avec une règle du cours. Supposons qu'on te donne : « un nombre multiple de 6 est pair ». Pour montrer que 42 est pair, tu écris : « $42=6\times7$ , donc 42 est un multiple de 6. Or un multiple de 6 est pair. Donc 42 est pair. » On retrouve les trois temps : la donnée ( $42=6\times7$ ), la règle, la conclusion.

Bien écrire : niveau de détail, erreurs et réflexes

On rédige une démonstration pour être lue et pour convaincre. Le niveau de détail dépend de ce que le lecteur connaît déjà. ² Au brevet, ton lecteur est un correcteur qui n'a que ta copie : il ne devine pas ce que tu as pensé sans l'écrire.

Exercices corrigés

Exercice 1 Un programme de calcul à démontrer

★☆☆Environ 8 min

Un programme de calcul donne les consignes suivantes :

choisir un nombre $n$ ;
ajouter 3 ;
élever le résultat au carré ;
retirer le carré du nombre de départ.

Démontre que le résultat vaut $6n+9$ pour tout nombre $n$ .
Quel résultat obtient-on si on choisit $n=12$ ?

Indice 1

Traduis le programme par une seule expression avec la lettre $n$ .

Indice 2

Développe $(n+3)^2$ avant de retirer $n^2$ .

Voir la correction pas à pas

On traduit le programme : le résultat est $A=(n+3)^2-n^2$ , où $n$ est un nombre quelconque.
On développe : $A=n^2+6n+9-n^2$ .
On simplifie : $n^2-n^2=0$ , donc $A=6n+9$ .
On conclut : pour tout nombre $n$ , le programme donne $6n+9$ .
Pour $n=12$ : $6\times12+9=81$ .

Tu as gardé la lettre $n$ tout au long du calcul : c'est ce qui rend la démonstration valable pour tous les nombres. Le calcul avec $n=12$ n'est qu'une application du résultat démontré.

Exercice 2 Trouver le nombre de départ

★★☆Environ 10 min

On reprend le programme de l'exercice précédent, dont le résultat est $6n+9$ .

On suppose ici que $n$ est un nombre entier. Démontre que ce résultat est alors toujours un multiple de 3.
Pour quel nombre de départ $n$ obtient-on 51 ?

Indice 1

Cherche un facteur commun à $6n$ et à $9$ .

Indice 2

Pour la question 2, écris une équation et résous-la étape par étape.

Voir la correction pas à pas

Le résultat est $6n+9$ . On factorise : $6n+9=3\times2n+3\times3=3(2n+3)$ .
On conclut : le résultat s'écrit comme 3 multiplié par $(2n+3)$ , donc c'est un multiple de 3 pour tout $n$ entier.
Pour obtenir 51, on écrit l'équation $6n+9=51$ .
On retire 9 aux deux membres : $6n=42$ .
On divise par 6 : $n=7$ .
On vérifie : $6\times7+9=51$ . Le nombre de départ est 7.

La factorisation fait apparaître le facteur 3 : une démonstration peut consister à changer l'écriture d'une expression pour faire apparaître la propriété cherchée.

Les questions qu'on se pose

Quelle différence entre calculer et démontrer ?

Calculer donne une valeur. Démontrer établit qu'une affirmation est vraie, avec des étapes de raisonnement correctes qui s'enchaînent. ² Un calcul peut faire partie d'une démonstration, mais il doit être accompagné de phrases qui disent d'où il vient et ce qu'il prouve.

Combien de détails faut-il écrire ?

Le niveau de détail dépend du lecteur : plus il connaît de choses, moins tu as besoin d'expliciter. ² Au brevet, écris ce qu'un camarade de ta classe aurait besoin de lire pour être convaincu : la donnée, la règle utilisée, la conclusion. Écris à part les étapes à double geste (par exemple isoler une multiplication, puis changer l'ordre des facteurs). ¹

Que faire quand je ne vois pas comment démontrer ?

Commence par écrire ce que tu sais et ce que tu dois obtenir. Essaie ensuite de relier les deux avec une règle du cours. Même un début de démonstration bien rédigé peut rapporter des points, alors n'efface pas ce qui est juste. Si tu bloques, teste sur un exemple pour comprendre le mécanisme, puis reviens à la lettre pour rédiger.

Sources

Rendre la démonstration accessible - Document ressource, Éduscol. Consulté le 6 novembre 2026.
Démonstration (logique et mathématiques), Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.

Les numéros dans le texte renvoient à ces sources. Une source qui ne dit pas ce qu'on lui fait dire ? Signale-le.

Signaler une erreur sur cette page