Géométrie rapide : exercices corrigés de 3e (automatismes DNB)

Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

Un automatisme se résout en quelques lignes : tu reconnais la configuration, tu choisis l'outil, tu calcules.
Au programme de 3e, la proportionnalité en géométrie et le théorème de Thalès en configuration papillon reviennent souvent ³.
Pour un agrandissement de coefficient k, les longueurs sont multipliées par k, les aires par k² et les volumes par k³.
Écris toujours le rapport avec les mêmes points au même rang, puis rédige la conclusion avec l'unité.

Comment utiliser ces exercices

Ces exercices s'adressent à toi si tu prépares les automatismes du brevet en mathématiques. Les automatismes sont des questions courtes, à traiter vite et sans calculatrice quand c'est possible. Le ministère attend aussi que tu saches expliquer ta démarche, ton raisonnement ou un calcul, à l'oral comme à l'écrit ¹. Entraîne-toi donc à écrire une phrase de justification à chaque réponse.

En géométrie, on te demande par exemple de reconnaître et de citer des angles sur une figure, en connaissant les notions d'angle plat et d'angle nul ². Le programme de 3e demande aussi d'utiliser le théorème de Thalès et sa réciproque dans la configuration papillon ³, et de résoudre des problèmes de proportionnalité en géométrie ³. Les exercices ci-dessous suivent ces axes, du plus simple au plus délicat.

Les exercices

Exercice 1 Angles sur une droite

★☆☆Environ 3 min

Les points $A$ , $O$ et $B$ sont alignés, avec $O$ entre $A$ et $B$ . Une demi-droite $[OC]$ forme avec $[OA]$ un angle $\widehat{AOC}$ de $65^\circ$ . Une autre demi-droite $[OD]$ est placée de sorte que $\widehat{COD}=48^\circ$ et que $D$ soit du côté de $B$ . On rappelle qu'un angle plat mesure $180^\circ$ ².

Calcule la mesure de l'angle $\widehat{DOB}$ .

Indice 1

Les trois angles $\widehat{AOC}$ , $\widehat{COD}$ et $\widehat{DOB}$ remplissent ensemble l'angle plat $\widehat{AOB}$ .

Indice 2

Fais un croquis : trace la droite, puis place $C$ et $D$ dans l'ordre.

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Les points $A$ , $O$ , $B$ sont alignés : l'angle $\widehat{AOB}$ est un angle plat, il mesure $180^\circ$ .
Les demi-droites $[OC]$ et $[OD]$ découpent cet angle plat en trois angles consécutifs : $\widehat{AOC}+\widehat{COD}+\widehat{DOB}=180^\circ$ .
On remplace : $65+48+\widehat{DOB}=180$ , donc $\widehat{DOB}=180-65-48$ .
On calcule : $180-113=67$ . L'angle $\widehat{DOB}$ mesure $67^\circ$ .

$\widehat{DOB}=67^\circ$ . Le réflexe à garder : un angle plat se partage en angles qui s'additionnent pour faire $180^\circ$ .

Exercice 2 Longueur d'une hypoténuse

★☆☆Environ 4 min

Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ avec $AB=6$ cm et $AC=8$ cm. On rappelle le théorème de Pythagore, qui relie les longueurs des côtés d'un triangle rectangle et qui sert encore de support aux cours de géométrie élémentaire ⁵ : dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.

Calcule la longueur $BC$ .

Indice 1

Repère l'angle droit : l'hypoténuse est le côté qui lui fait face.

Indice 2

Calcule $6^2$ et $8^2$ avant d'additionner.

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Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ , donc son hypoténuse est $[BC]$ .
On écrit la relation : $BC^2=AB^2+AC^2$ .
On remplace : $BC^2=6^2+8^2=36+64=100$ .
$BC$ est un nombre positif dont le carré vaut $100$ , donc $BC=\sqrt{100}=10$ cm.

$BC=10$ cm. Contrôle : l'hypoténuse est bien le plus grand côté, $10>8>6$ .

Exercice 3 Une carte à l'échelle

★☆☆Environ 4 min

Sur une carte à l'échelle $\dfrac{1}{25\,000}$ , deux villages sont distants de $6$ cm. Cela signifie que $1$ cm sur la carte représente $25\,000$ cm dans la réalité.

Quelle est la distance réelle entre les deux villages, en kilomètres ?

Indice 1

Multiplie la longueur mesurée par $25\,000$ : la carte est une réduction, la réalité est plus grande.

Indice 2

Convertis ensuite les centimètres en kilomètres : $1$ km vaut $100\,000$ cm.

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La distance réelle en centimètres est $6\times 25\,000=150\,000$ cm.
On convertit : $1$ km $=1\,000$ m $=100\,000$ cm.
On divise : $150\,000\div 100\,000=1{,}5$ .
Les deux villages sont distants de $1{,}5$ km.

La distance réelle est de $1{,}5$ km. Une échelle est une situation de proportionnalité : c'est l'un des usages de la proportionnalité en géométrie que le programme de 3e met en avant ³.

Exercice 4 Thalès en papillon : une longueur

★★☆Environ 6 min

Les droites $(AC)$ et $(BD)$ se coupent en $O$ , avec $O$ entre $A$ et $C$ et entre $B$ et $D$ . Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles. On donne $OA=4$ cm, $OC=6$ cm et $OB=5$ cm.

Calcule la longueur $OD$ . Cette configuration, dite en papillon, fait partie de celles où le programme de 3e demande d'utiliser le théorème de Thalès ³.

Indice 1

Écris les trois rapports égaux : $\dfrac{OA}{OC}=\dfrac{OB}{OD}=\dfrac{AB}{CD}$ .

Indice 2

Garde les points dans le même ordre en haut et en bas : $A$ et $B$ en haut, $C$ et $D$ en bas.

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Les droites $(AC)$ et $(BD)$ sont sécantes en $O$ et $(AB)\parallel(CD)$ : on peut appliquer le théorème de Thalès.
On écrit : $\dfrac{OA}{OC}=\dfrac{OB}{OD}$ .
On remplace : $\dfrac{4}{6}=\dfrac{5}{OD}$ .
Produit en croix : $OD=\dfrac{6\times 5}{4}=\dfrac{30}{4}=7{,}5$ cm.

$OD=7{,}5$ cm. Vérification de plausibilité : $OA<OC$ et $OB<OD$ , les deux paires sont dans le même sens.

Exercice 5 Réciproque de Thalès : parallèles ou non ?

★★☆Environ 6 min

Dans une configuration en papillon de centre $O$ , les points $A$ , $O$ , $C$ sont alignés dans cet ordre, de même que $B$ , $O$ , $D$ . On donne $OA=3$ cm, $OC=5$ cm, $OB=4{,}2$ cm et $OD=7$ cm.

Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont-elles parallèles ? Justifie. Le programme demande de connaître le théorème de Thalès et sa réciproque dans cette configuration ³.

Indice 1

Compare les deux rapports $\dfrac{OA}{OC}$ et $\dfrac{OB}{OD}$ , sans les arrondir.

Indice 2

Si les rapports sont égaux et que les points sont alignés dans le bon ordre, la réciproque permet de conclure.

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On calcule le premier rapport : $\dfrac{OA}{OC}=\dfrac{3}{5}=0{,}6$ .
On calcule le second : $\dfrac{OB}{OD}=\dfrac{4{,}2}{7}=0{,}6$ .
Les deux rapports sont égaux. De plus $A,O,C$ sont alignés dans cet ordre, de même que $B,O,D$ .
D'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles.

Oui, $(AB)\parallel(CD)$ . Si les rapports avaient été différents, par exemple $0{,}6$ et $0{,}62$ , on aurait conclu que les droites ne sont pas parallèles.

Exercice 6 Agrandissement et aire

★★☆Environ 5 min

Un motif a une aire de $12$ cm². On l'agrandit avec un coefficient $3$ : toutes ses longueurs sont multipliées par $3$ . L'effet des transformations sur les figures et le calcul de grandeurs géométriques sont des attendus de fin de 3e ³.

Quelle est l'aire du motif agrandi, en cm² ?

Indice 1

Pense à un carré de côté $1$ cm : si le côté est multiplié par $3$ , que devient son aire ?

Indice 2

L'aire se multiplie par le carré du coefficient.

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Prenons un carré de côté $1$ cm, d'aire $1$ cm². Avec un coefficient $3$ , son côté devient $3$ cm et son aire $9$ cm².
L'aire est donc multipliée par $3^2=9$ .
Aire du motif agrandi : $12\times 9=108$ cm².

L'aire agrandie est de $108$ cm². L'erreur classique serait de répondre $36$ cm², en multipliant l'aire par $3$ seulement.

Exercice 7 Agrandissement et volume

★★★Environ 6 min

Un petit pot a un volume de $50$ cm³. Un pot de même forme, mais dont chaque longueur est le double de celles du petit pot, est fabriqué.

Quel est le volume du grand pot, en cm³ ? Combien de petits pots faut-il pour le remplir ?

Indice 1

Pour un volume, trois dimensions sont multipliées par le coefficient.

Indice 2

Le nombre de petits pots est le rapport entre les deux volumes.

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Le coefficient d'agrandissement des longueurs est $k=2$ .
Les volumes sont multipliés par $k^3=2^3=8$ .
Volume du grand pot : $50\times 8=400$ cm³.
Nombre de petits pots nécessaires : $400\div 50=8$ .

Le grand pot contient $400$ cm³, soit huit petits pots pleins. Doubler les longueurs ne double pas le volume : il est multiplié par huit.

Exercice 8 Des longueurs qui augmentent de 10 %

★★★Environ 7 min

Un rectangle mesure $8$ cm de long et $5$ cm de large. On augmente chacune de ses deux dimensions de $10\,\%$ . Le lien entre pourcentage d'évolution et coefficient multiplicateur fait partie des attendus de 3e ³.

Quelle est l'aire du nouveau rectangle, en cm² ?

Indice 1

Une hausse de $10\,\%$ correspond à un coefficient multiplicateur de $1{,}1$ .

Indice 2

Calcule d'abord les deux nouvelles dimensions, puis leur produit.

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Coefficient multiplicateur d'une hausse de $10\,\%$ : $1+\dfrac{10}{100}=1{,}1$ .
Nouvelle longueur : $8\times 1{,}1=8{,}8$ cm. Nouvelle largeur : $5\times 1{,}1=5{,}5$ cm.
Nouvelle aire : $8{,}8\times 5{,}5=48{,}4$ cm².
Comparaison : l'ancienne aire valait $40$ cm². Elle a été multipliée par $1{,}1^2=1{,}21$ , donc elle a augmenté de $21\,\%$ et non de $10\,\%$ .

La nouvelle aire est de $48{,}4$ cm². Augmenter deux dimensions de $10\,\%$ augmente l'aire de $21\,\%$ .

Exercice 9 Un rectangle découpé pour calculer vite

★★★Environ 6 min

Un grand rectangle de longueur $12$ cm est partagé par un trait en deux rectangles de même longueur $12$ cm : l'un de largeur $5$ cm, l'autre de largeur $2$ cm. Calculer l'aire d'un rectangle en la décomposant en aires plus simples est une méthode ancienne qui permet de justifier des propriétés de la multiplication ⁶.

Calcule l'aire du grand rectangle de deux façons et vérifie que les résultats concordent.

Indice 1

Première façon : additionne les aires des deux rectangles.

Indice 2

Seconde façon : calcule la largeur totale, puis multiplie par la longueur.

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Par addition des aires : $12\times 5=60$ cm² et $12\times 2=24$ cm², soit $60+24=84$ cm².
Par la largeur totale : $5+2=7$ cm, donc l'aire vaut $12\times 7=84$ cm².
Les deux résultats sont égaux : $12\times 5+12\times 2=12\times(5+2)$ , c'est la distributivité de la multiplication sur l'addition.

L'aire du grand rectangle est de $84$ cm². Le même schéma sert à développer $a(b+c)=ab+ac$ , ce qui relie géométrie et calcul littéral, lien que les sources historiques présentent comme à la base de l'algèbre géométrique ⁶.

Les questions qu'on se pose

Comment savoir si je dois utiliser Pythagore ou Thalès ?

Regarde d'abord la figure. Si elle contient un angle droit et que tu cherches une longueur d'un côté, pense à Pythagore ⁵. Si tu vois deux droites parallèles et deux droites sécantes qui forment un papillon, pense à Thalès ³. Si l'énoncé parle d'un agrandissement, d'une réduction ou d'une échelle, c'est la proportionnalité qui s'applique ³.

Dois-je justifier chaque réponse aux automatismes ?

Les automatismes sont courts, mais le programme valorise l'explication de la démarche et du raisonnement ¹. Quand le sujet le demande, écris une phrase qui nomme la propriété utilisée, puis le calcul et la conclusion avec l'unité. Même quand ce n'est pas demandé, noter la relation avant de calculer t'aide à repérer tes erreurs.

Pourquoi l'aire est-elle multipliée par k² dans un agrandissement ?

Parce que l'aire dépend de deux dimensions, longueur et largeur. Si chacune est multipliée par $k$ , le produit est multiplié par $k\times k=k^2$ . Pour un volume, trois dimensions sont concernées, donc le facteur est $k^3$ . Les exercices sur les pots et sur le motif agrandi te permettent de le vérifier sur des nombres.

Sources

Programme visé : Diplôme National du Brevet (DNB) 2026 — Mathématiques · Ministère de l'Éducation nationale

Diplôme National du Brevet (DNB) 2026 — Mathématiques, Ministère de l'Éducation nationale. Consulté le 6 novembre 2026.
Liste indicative d'automatismes pour le DNB — Mathématiques (série générale et professionnelle), Éduscol. Consulté le 6 novembre 2026.
3e Mathématiques — Attendus de fin d'année, Éduscol. Consulté le 6 novembre 2026.
Mathématiques — Espace et géométrie (accompagnement cycle 4), Éduscol. Consulté le 6 novembre 2026.
Géométrie euclidienne, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.
Algèbre géométrique, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.

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L'essentiel

Comment utiliser ces exercices

Les exercices

Exercice 1 Angles sur une droite

Exercice 2 Longueur d'une hypoténuse

Exercice 3 Une carte à l'échelle

Exercice 4 Thalès en papillon : une longueur

Exercice 5 Réciproque de Thalès : parallèles ou non ?

Exercice 6 Agrandissement et aire

Exercice 7 Agrandissement et volume

Exercice 8 Des longueurs qui augmentent de 10 %

Exercice 9 Un rectangle découpé pour calculer vite

Les questions qu'on se pose

Sources

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