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Mathématiques · 3eDNB

Calculer des probabilités : exercices corrigés de 3e

Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

  • En situation d'équiprobabilité, on calcule P(A)=nombre d’issues favorablesnombre total d’issuesP(A)=\dfrac{\text{nombre d'issues favorables}}{\text{nombre total d'issues}} 1.
  • Une probabilité est toujours comprise entre 0 et 1 3 ; un événement impossible a pour probabilité 0.
  • Pour l'événement contraire : P(A‾)=1−P(A)P(\overline{A})=1-P(A) 1, souvent plus rapide que de tout compter 4.
  • Pour « A ou B » avec des événements qui ne peuvent pas se produire ensemble, on additionne ; sinon on retire les issues comptées deux fois.
  • Une fréquence observée sur beaucoup d'essais permet de contrôler ou d'approcher une probabilité 2.

Comment utiliser ces exercices

Ces exercices vont du plus simple au plus délicat. Les premiers demandent seulement de compter ; les derniers t'obligent à choisir une méthode. Cherche chaque exercice sur ton cahier avant d'ouvrir les indices, puis compare ta démarche avec la correction : l'important n'est pas seulement le résultat, mais la façon d'y arriver.

Pour chaque énoncé, commence toujours par trois questions. Quelle est l'expérience aléatoire ? Quelles sont toutes les issues possibles ? Ces issues ont-elles la même chance de se produire ? Dans les exercices ci-dessous, la réponse à la dernière question est « oui » sauf mention contraire : on est alors en situation d'équiprobabilité 1.

Pourquoi s'entraîner sur des cas variés

Au DNB, une question de probabilité se résout presque toujours en quelques lignes, mais la rédaction compte : il faut écrire le nombre d'issues possibles, le nombre d'issues favorables, puis le quotient. Une réponse sans justification perd des points même si le nombre est juste.

Les exercices qui suivent mélangent des tirages dans un sac, des dés, des cartes, des roues et une cible. Tu y rencontreras l'événement contraire, la réunion de deux événements et le lien entre fréquence et probabilité 2. Les expériences à deux épreuves et les arbres de probabilités viennent ensuite : pas besoin de les connaître ici.

Les exercices

Exercice 1 Un dé à six faces

★☆☆Environ 4 min

On lance un dé équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6. On note AA l'événement « obtenir un nombre pair ».

Calcule la probabilité de AA.

Indice 1

Liste les issues possibles, puis ceux qui sont pairs.

Indice 2

Le dé est équilibré : toutes les faces ont la même probabilité.

Voir la correction pas à pas

  1. L'expérience est le lancer d'un dé ; il y a 6 issues possibles : 1, 2, 3, 4, 5, 6.

  2. Le dé est équilibré, donc les 6 issues sont équiprobables.

  3. Les issues favorables à AA sont 2, 4 et 6 : il y en a 3.

  4. On calcule P(A)=36=12=0,5P(A)=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}=0{,}5.

La probabilité d'obtenir un nombre pair est 12\dfrac{1}{2}. Ce résultat est bien compris entre 0 et 1 3.

Exercice 2 Tirer une boule dans un sac

★☆☆Environ 5 min

Un sac opaque contient 5 boules rouges, 3 boules vertes et 2 boules bleues, indiscernables au toucher. On tire une boule au hasard.

Quelle est la probabilité de tirer une boule verte ?

Indice 1

Commence par compter toutes les boules du sac.

Indice 2

Les boules sont indiscernables au toucher : le tirage est équiprobable.

Voir la correction pas à pas

  1. Le sac contient 5+3+2=105+3+2=10 boules : il y a 10 issues possibles, toutes équiprobables.

  2. Il y a 3 boules vertes, donc 3 issues favorables.

  3. On calcule P(verte)=310=0,3P(\text{verte})=\dfrac{3}{10}=0{,}3.

La probabilité de tirer une boule verte est 310\dfrac{3}{10}, soit 0,3 ou 30 %. Ne confonds pas avec 37\dfrac{3}{7} : on divise par toutes les boules du sac, pas seulement par les autres.

Exercice 3 Passer par l'événement contraire

★☆☆Environ 5 min

Dans une urne, il y a 12 jetons : 5 sont rouges, les autres sont de couleurs différentes (jaune, noir, blanc, etc.). On tire un jeton au hasard.

Calcule la probabilité de l'événement BB : « le jeton tiré n'est pas rouge ».

Indice 1

Quel est l'événement contraire de BB ?

Indice 2

On a P(A‾)=1−P(A)P(\overline{A})=1-P(A).

Voir la correction pas à pas

  1. Notons RR l'événement « le jeton est rouge ». Alors B=R‾B=\overline{R} 1.

  2. Il y a 12 jetons équiprobables et 5 sont rouges : P(R)=512P(R)=\dfrac{5}{12}.

  3. On applique la relation de l'événement contraire : P(B)=1−P(R)=1−512=712P(B)=1-P(R)=1-\dfrac{5}{12}=\dfrac{7}{12}.

  4. Vérification directe : il y a 12−5=712-5=7 jetons non rouges, donc 712\dfrac{7}{12} aussi.

P(B)=712≈0,583P(B)=\dfrac{7}{12}\approx 0{,}583. Les deux méthodes donnent le même résultat. Quand l'événement contraire est plus simple à compter, c'est le bon réflexe 4.

Exercice 4 Une roue de loterie

★★☆Environ 7 min

Une roue est partagée en 8 secteurs identiques numérotés de 1 à 8. On la fait tourner et on lit le numéro du secteur désigné par la flèche.

On note MM : « obtenir un multiple de 3 » et GG : « obtenir un nombre strictement supérieur à 6 ».

Calcule la probabilité de « MM ou GG ».

Indice 1

Écris la liste des issues de MM et celle des issues de GG.

Indice 2

Regarde si une issue appartient aux deux listes.

Voir la correction pas à pas

  1. Les 8 secteurs sont identiques : 8 issues équiprobables.

  2. Les multiples de 3 sont 3 et 6, donc M={3 ;6}M=\{3\,;6\}.

  3. Les nombres strictement supérieurs à 6 sont 7 et 8, donc G={7 ;8}G=\{7\,;8\}.

  4. Aucune issue n'est commune aux deux listes : les événements ne peuvent pas se produire ensemble.

  5. L'événement « MM ou GG » regroupe {3 ;6 ;7 ;8}\{3\,;6\,;7\,;8\}, soit 4 issues favorables.

  6. P(M ou G)=48=12P(M\text{ ou }G)=\dfrac{4}{8}=\dfrac{1}{2}. On retrouve aussi P(M)+P(G)=28+28P(M)+P(G)=\dfrac{2}{8}+\dfrac{2}{8}.

La probabilité est 12\dfrac{1}{2}. Ici l'addition fonctionne parce que MM et GG sont incompatibles 4 ; l'exercice suivant montre ce qui change quand ce n'est pas le cas.

Exercice 5 Cœur ou roi ?

★★☆Environ 8 min

On tire au hasard une carte dans un jeu de 32 cartes. Ce jeu contient 4 couleurs (cœur, carreau, pique, trèfle) de 8 cartes chacune, et dans chaque couleur il y a un roi.

Calcule la probabilité de tirer un cœur ou un roi.

Indice 1

Combien y a-t-il de cœurs ? de rois ?

Indice 2

Une carte peut-elle être à la fois un cœur et un roi ?

Voir la correction pas à pas

  1. Il y a 32 cartes équiprobables.

  2. Il y a 8 cœurs et 4 rois.

  3. Le roi de cœur est à la fois un cœur et un roi : il est compté dans les deux nombres.

  4. Nombre de cartes favorables : 8+4−1=118+4-1=11.

  5. P=1132≈0,344P=\dfrac{11}{32}\approx 0{,}344.

La probabilité de tirer un cœur ou un roi est 1132\dfrac{11}{32}. Additionner 832+432=1232\dfrac{8}{32}+\dfrac{4}{32}=\dfrac{12}{32} aurait compté le roi de cœur deux fois.

Exercice 6 Fréquence et probabilité

★★☆Environ 8 min

Léa lance une pièce de monnaie 200 fois et obtient « pile » 108 fois. Elle pense que la pièce est truquée.

  1. Calcule la fréquence d'apparition de « pile ».
  2. Quelle probabilité théorique de « pile » attend-on pour une pièce équilibrée ?
  3. Léa a-t-elle raison de conclure que la pièce est truquée ?

Donne en réponse la fréquence de la question 1.

Indice 1

Une fréquence est un quotient : effectif observé divisé par nombre d'essais.

Indice 2

Compare avec 0,5 et demande-toi si l'écart est grand pour 200 lancers.

Voir la correction pas à pas

  1. Fréquence de « pile » : f=108200=0,54f=\dfrac{108}{200}=0{,}54.

  2. Pour une pièce équilibrée, « pile » et « face » sont équiprobables : P(pile)=12=0,5P(\text{pile})=\dfrac{1}{2}=0{,}5.

  3. L'écart entre 0,54 et 0,5 est de 0,04, ce qui est faible.

  4. Les fréquences observées fluctuent d'une série à l'autre et se stabilisent quand le nombre d'essais augmente 2 : un écart de cet ordre sur 200 lancers ne suffit pas à conclure.

La fréquence est 0,54. Elle sert à contrôler une hypothèse d'équiprobabilité 2, mais Léa ne peut pas affirmer que la pièce est truquée sur cette seule série ; il faudrait beaucoup plus de lancers.

Exercice 7 Retrouver le contenu d'un sac

★★★Environ 10 min

Un sac contient 20 boules, rouges ou noires. On tire une boule au hasard et la probabilité d'obtenir une boule rouge vaut 0,350{,}35.

  1. Combien y a-t-il de boules rouges ?
  2. Quelle est la probabilité de tirer une boule noire ?
  3. On ajoute dans le sac 5 boules noires. Quelle est maintenant la probabilité de tirer une boule rouge ?

Donne en réponse la probabilité de la question 3.

Indice 1

Si P(rouge)=r20P(\text{rouge})=\dfrac{r}{20}, résous r20=0,35\dfrac{r}{20}=0{,}35.

Indice 2

Après l'ajout, le nombre de boules rouges ne change pas, mais le total oui.

Voir la correction pas à pas

  1. Soit rr le nombre de boules rouges : r20=0,35\dfrac{r}{20}=0{,}35, donc r=0,35×20=7r=0{,}35\times 20=7.

  2. « Noire » est l'événement contraire de « rouge » : P(noire)=1−0,35=0,65P(\text{noire})=1-0{,}35=0{,}65 1.

  3. Il y a 20−7=1320-7=13 boules noires ; on vérifie 1320=0,65\dfrac{13}{20}=0{,}65.

  4. Après l'ajout, le sac contient 20+5=2520+5=25 boules dont toujours 7 rouges.

  5. P(rouge)=725=0,28P(\text{rouge})=\dfrac{7}{25}=0{,}28.

Il y a 7 boules rouges, la probabilité d'une noire est 0,65, et après l'ajout la probabilité d'une rouge passe à 0,28. Ajouter des boules noires fait baisser la chance de tirer une rouge, ce qui est cohérent.

Exercice 8 Une cible carrée

★★★Environ 10 min

Une cible est un carré de côté 10 cm. Au centre, un carré de côté 4 cm est colorié en rouge. Une fléchette se plante au hasard sur la cible, et on suppose que tous les points sont également probables.

  1. Calcule l'aire de la cible et l'aire de la zone rouge.
  2. En déduire la probabilité de toucher la zone rouge.
  3. Quelle est la probabilité de ne pas toucher la zone rouge ?

Donne en réponse la probabilité de la question 2.

Indice 1

Dans ce type de situation, la probabilité est un rapport d'aires.

Indice 2

Pour la question 3, pense à l'événement contraire.

Voir la correction pas à pas

  1. Aire de la cible : 10×10=100 cm210\times 10=100\ \text{cm}^2.

  2. Aire de la zone rouge : 4×4=16 cm24\times 4=16\ \text{cm}^2.

  3. La probabilité se calcule avec le rapport des aires 4 : P(rouge)=16100=0,16P(\text{rouge})=\dfrac{16}{100}=0{,}16.

  4. « Ne pas toucher la zone rouge » est l'événement contraire : 1−0,16=0,841-0{,}16=0{,}84.

La probabilité de toucher la zone rouge est 0,160{,}16 et celle de la manquer est 0,840{,}84. Les deux sont bien comprises entre 0 et 1 et leur somme vaut 1.

Les questions qu'on se pose

Comment savoir si je peux utiliser « cas favorables sur cas possibles » ?

Cette formule ne marche qu'en situation d'équiprobabilité : toutes les issues doivent avoir la même chance 1. Un dé équilibré, un sac de boules indiscernables ou une roue à secteurs identiques conviennent. Si les secteurs d'une roue n'ont pas la même taille, il faut d'abord tenir compte de leur taille. L'énoncé précise en général que le tirage est « au hasard » ou que l'objet est « équilibré ».

Mon résultat est 1,4 ou négatif : que faire ?

Une probabilité est toujours comprise entre 0 et 1 3. Un résultat en dehors de cet intervalle signale une erreur : souvent un dénominateur trop petit (tu as divisé par les autres issues et non par le total), ou une issue ajoutée plusieurs fois dans un « A ou B ». Recompte les issues possibles, puis les favorables, et refais le quotient.

Faut-il donner la probabilité en fraction ou en décimal ?

Les deux sont acceptés au DNB si le résultat est exact. Préfère la fraction simplifiée quand le décimal est infini : 712\dfrac{7}{12} est exact, alors que 0,58 est une valeur approchée. Écris d'abord le quotient, puis éventuellement sa valeur décimale ou en pourcentage.

Sources

Programme visé : Annexe 2 – Programme de mathématiques pour le cycle 4 (3e) · education.gouv.fr

  1. Annexe 2 – Programme de mathématiques pour le cycle 4 (3e), education.gouv.fr. Consulté le 6 novembre 2026.
  2. Ressources d'accompagnement pour les probabilités au collège, eduscol.education.fr. Consulté le 6 novembre 2026.
  3. Ressources Lumni pour les probabilités (via Éduthèque), lumni.fr. Consulté le 6 novembre 2026.
  4. Document d'accompagnement – Probabilités au collège, irem.univ-lille.fr. Consulté le 6 novembre 2026.
  5. Probabilité, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.
  6. Théorie des probabilités, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.

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