Les ordres de grandeur : cours de 4e

Tu as déjà vérifié un prix à la caisse en arrondissant chaque article à l'euro le plus proche. Tu faisais, sans le savoir, un calcul d'ordre de grandeur. Le principe est simple : on remplace des nombres précis par des nombres plus simples, pour obtenir vite une idée juste de la taille d'un résultat.

Cette façon de faire est un automatisme du cycle 4. Le programme la relie à la vérification de la cohérence des résultats et à la maîtrise des unités ³. Elle sert aussi dans d'autres matières : les textes d'accompagnement citent la chimie et la technologie ³.

Dans ce cours, tu vas apprendre à :

• lire et écrire des puissances de 10, positives et négatives ;
• donner l'ordre de grandeur d'un nombre ;
• calculer de façon approchée un produit ou un quotient ;
• repérer un résultat impossible ;
• comparer des grandeurs très différentes, comme la taille d'un atome et celle d'une fourmi.

Les ordres de grandeur s'écrivent presque toujours avec des puissances de 10. Un petit rappel s'impose avant d'aller plus loin. Le programme du cycle 4 prévoit d'ailleurs de rencontrer les exposants négatifs dans des situations liées aux unités et aux ordres de grandeur ¹.

Pourquoi s'en servir ? Une valeur précise s'oublie vite, alors qu'un ordre de grandeur se garde en tête sans effort, et il règle bien des situations ⁴. Si on te demande la hauteur d'un immeuble, « de l'ordre de 10 mètres » t'apprend davantage qu'un long nombre aussitôt oublié.

Ce repère est précieux pour les valeurs énormes ou minuscules : la taille du système solaire, ou la charge d'un électron, par exemple ⁴. Il permet aussi de se faire une idée de la taille d'un objet de tous les jours, et de sélectionner l'appareil de mesure qui convient ⁴.

Pour estimer un produit ou un quotient, on simplifie les nombres avant de calculer. On arrondit chaque nombre pour ne garder qu'un seul chiffre non nul (par exemple 50, 30 ou 6 000), puis on calcule de tête. Le résultat n'est pas exact, mais il est du bon ordre de grandeur.

Connaître l'ordre de grandeur d'une valeur permet de s'assurer qu'un résultat n'est pas le fruit d'une erreur grossière ⁴. Le programme insiste sur ce rôle : l'ordre de grandeur est indispensable pour contrôler la cohérence des résultats ³. C'est ton filet de sécurité quand tu utilises une calculatrice : une touche mal tapée peut multiplier le résultat par 10 ou par 100.

En sciences, on compare souvent deux grandeurs de même nature, par exemple deux longueurs. On dit alors que l'une est « de deux ordres de grandeur plus grande » que l'autre. Cela signifie qu'elle est environ cent fois plus grande ⁴. En réalité, on donne l'ordre de grandeur du rapport entre les deux grandeurs ⁴.

Pour avoir en tête quelques repères, voici des ordres de grandeur de longueurs que l'on rencontre dans la nature. Plus on avance dans le tableau, plus les objets sont grands. Retiens surtout les enchaînements : de l'atome à la cellule, on gagne entre quatre et sept ordres de grandeur, puis on rejoint les objets de la vie courante.

Quelques précisions sur ces repères. Le rayon d'un atome est de l'ordre de $10^{-10}\ \text{m}$, soit $0{,}1\ \text{nm}$ ⁵. La distance entre atomes dans une molécule ou un cristal est de l'ordre de $10^{-9}\ \text{m}$, soit $1\ \text{nm}$ ⁵. Les plus petites espèces vivantes vont de l'ordre de $1\ \text{nm}$ à $1\ \mu\text{m}$ ⁵. Enfin, les longueurs courantes à l'échelle humaine vont de l'ordre de $1\ \text{mm}$ à $1\ \text{km}$, soit de $10^{-3}$ à $10^{3}\ \text{m}$ ⁵. Les fourmis y figurent, avec par exemple 2,5 mm pour l'espèce Martialis heureka ⁵.