Publié le 12 novembre 2026 · Mis à jour le 12 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
Une équation du premier degré contient une inconnue qui n'apparaît qu'à la puissance 1 (ou 0) ; elle se ramène à la forme ax+b=c31.
Résoudre, c'est trouver la valeur de l'inconnue qui rend l'égalité vraie.
On garde l'égalité en faisant la même opération des deux côtés : ajouter, soustraire, multiplier ou diviser par un nombre non nul.
Méthode : développer, regrouper les x d'un côté et les nombres de l'autre, réduire, puis diviser par le coefficient de x.
On vérifie toujours en remplaçant x par la solution dans l'équation de départ.
Piège classique : changer un signe en passant d'un membre à l'autre, ou oublier de distribuer sur toute une parenthèse.
Qu'est-ce qu'une équation du premier degré ?
Tu connais déjà les égalités comme 3+4=7 : elles sont vraies ou fausses. Une équation est une égalité où un nombre est caché derrière une lettre, souvent x. La question est alors : quelle valeur de x rend cette égalité vraie ?
Par exemple, dans x+5=12, il manque un nombre. Tu trouves tout de suite 7, car 7+5=12. Mais dès que l'équation devient plus longue, comme 7x−4=3x+12, il faut une méthode sûre. C'est l'objet de ce cours.
Tester si un nombre est solution
Avant de résoudre, il faut comprendre ce qu'est une solution. Un nombre est solution si, quand on le met à la place de x des deux côtés, on obtient le même résultat à gauche et à droite.
Tester des nombres au hasard peut marcher pour des équations très simples, ou avec un tableur, que le programme cite comme outil de conjecture 1. Mais ce n'est pas une méthode fiable en général : tu ne peux pas tout essayer. Il faut donc une vraie technique de résolution.
Le principe : garder l'égalité en équilibre
Imagine une balance à deux plateaux. Elle est en équilibre : il y a autant de masse à gauche qu'à droite. Si tu ajoutes un poids à gauche, elle penche. Pour garder l'équilibre, tu dois ajouter le même poids à droite. Une équation fonctionne exactement ainsi.
Résoudre une équation du type $ax+b=c$
Le programme de 4e demande de savoir résoudre les équations du type ax+b=c1. Ici, deux opérations agissent sur x : une multiplication par a, puis une addition de b. On les défait dans l'ordre inverse : d'abord b, ensuite a.
Supprimer bAjoute ou soustrais b aux deux membres
Diviser par aDivise les deux membres par le coefficient de x
ConclureÉcris x = valeur
VérifierRemplace x dans l'équation de départ
Résoudre $ax+b=c$ en quatre étapes · La méthode de résolution d'une équation du premier degré.
Les inconnues des deux côtés et les parenthèses
Certaines équations ont des x à gauche et à droite. Il faut alors les rassembler d'un seul côté. On peut aussi rencontrer des parenthèses, qu'on développe avant de résoudre. On se ramène ainsi toujours à une équation que tu sais déjà résoudre.
À quoi servent les équations ? Un peu d'histoire et de lien avec les programmes de calcul
Résoudre des équations, ce n'est pas qu'un exercice d'école. Le programme invite à faire le lien entre la résolution d'une équation et les programmes de calcul 1. Un programme de calcul enchaîne des opérations ; une équation sert à retrouver le nombre de départ quand on connaît le résultat.
Le même raisonnement sert à résoudre des problèmes : tu choisis l'inconnue, tu traduis la phrase par une égalité, puis tu résous. Ce travail de traduction, appelé mise en équation, fait aussi partie du programme de 4e 2 : il consiste à traduire un énoncé, alors qu'ici tu apprends surtout à résoudre l'équation obtenue.
Cette recherche d'une inconnue est très ancienne. La résolution des problèmes du premier degré a commencé avec des procédés de calcul babyloniens et égyptiens. Elle s'est poursuivie au Moyen Âge avec les méthodes dites de fausse position et avec les méthodes de résolution directe des mathématiciens arabes, avant l'emploi d'un symbolisme moderne 3.
Au IXe siècle, Al-Khwarizmi a étudié systématiquement les équations dans un ouvrage dont le titre contient le mot arabe « al-jabr », qui signifie « restauration ». Ce mot a donné son nom à l'algèbre4. Quand tu ajoutes un même nombre aux deux membres pour supprimer un terme négatif, tu fais, à ta manière, une « restauration ».
Erreurs fréquentes et conseils de rédaction
Les erreurs en équations viennent presque toujours des mêmes endroits. Les connaître te permet de les éviter.
Exercices corrigés
Exercice 1 Retrouver un nombre avec un programme de calcul
★☆☆Environ 6 min
On choisit un nombre, on le multiplie par 3, puis on ajoute 5. On obtient 20.
Quel est le nombre choisi ? Vérifie ta réponse.
Indice 1
Appelle x le nombre choisi et écris ce que donne le programme.
Indice 2
Tu obtiens une équation du type ax+b=c : supprime d'abord b.
Voir la correction pas à pas
On note x le nombre choisi. Le programme donne 3x+5, donc on résout 3x+5=20.
On soustrait 5 aux deux membres : 3x=15.
On divise les deux membres par 3 : x=5.
Vérification : 5×3=15, puis 15+5=20. Le résultat est bien 20.
Le nombre choisi est 5.
Exercice 2 Inconnues des deux côtés
★★☆Environ 8 min
Résous l'équation 6x−9=2x+11, puis vérifie la solution.
Indice 1
Rassemble les termes en x du même côté en soustrayant 2x aux deux membres.
Indice 2
Ajoute ensuite 9 aux deux membres avant de diviser.
Voir la correction pas à pas
On soustrait 2x aux deux membres : 6x−2x−9=11, soit 4x−9=11.
On ajoute 9 aux deux membres : 4x=20.
On divise par 4 : x=5.
Vérification à gauche : 6×5−9=30−9=21.
Vérification à droite : 2×5+11=10+11=21. Les deux membres sont égaux.
La solution de l'équation est 5.
Exercice 3 Équation avec parenthèses
★★★Environ 10 min
Résous l'équation 4(x−3)=2x+6, puis vérifie la solution.
Indice 1
Commence par développer 4(x−3) en multipliant chacun des deux termes par 4.
Indice 2
Regroupe ensuite les x à gauche et les nombres à droite.
Voir la correction pas à pas
On développe : 4(x−3)=4x−12. L'équation devient 4x−12=2x+6.
On soustrait 2x aux deux membres : 2x−12=6.
On ajoute 12 aux deux membres : 2x=18.
On divise par 2 : x=9.
Vérification à gauche : 4×(9−3)=4×6=24.
Vérification à droite : 2×9+6=18+6=24. Les deux membres sont égaux.
La solution de l'équation est 9.
Quiz
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Dans 3x+2=11, x n'apparaît qu'à la puissance 1 : c'est une équation du premier degré. Les trois autres contiennent x2 ou x3, donc leur degré est supérieur à 1, même si elles ont l'air simples.
Le x est multiplié par 5 : on divise les deux membres par 5, ce qui donne x=7 (5×7=35). Soustraire 5 donnerait 30, et multiplier par 5 donnerait 175 : ces opérations n'isolent pas x.
On soustrait 9 aux deux membres : x=4−9=−5. Vérification : −5+9=4. La réponse 5 vient d'un oubli du signe, et 13 d'une addition au lieu d'une soustraction.
Le 6 est ajouté à gauche : on le soustrait des deux membres, donc 2x=14−6=8. Écrire 2x=14+6 est l'erreur de signe la plus courante. x=14−6 oublie le coefficient 2.
On soustrait 2x : x−4=6, puis on ajoute 4 : x=10. Vérification : 3×10−4=26 et 2×10+6=26. Le résultat 2 vient d'une soustraction 6−4 faite en oubliant que le 4 est retranché à gauche.
On ajoute 3 aux deux membres : 4x=16. On divise par 4 : x=4. Vérification : 4×4−3=13.
C'est vrai : c'est le principe de l'équilibre. Ajouter le même nombre des deux côtés conserve l'égalité. Ce qui change les solutions, c'est de n'agir que d'un seul côté, ou de multiplier par 0.
Les questions qu'on se pose
Comment savoir si ma solution est juste ?
Remplace x par ta solution dans l'équation de départ et calcule séparément le membre de gauche et le membre de droite. S'ils sont égaux, ta solution est juste. Sinon, cherche l'erreur ligne par ligne, souvent un signe.
Faut-il toujours mettre les $x$ à gauche ?
Non. Tu peux rassembler les x du côté que tu veux. Choisis le côté qui laisse un coefficient positif : c'est plus simple pour éviter les erreurs de signe. Le résultat final est le même.
Que veut dire « passer de l'autre côté en changeant de signe » ?
C'est un raccourci : tu ajoutes ou soustrais le même terme aux deux membres. Ainsi, dans x+3=8, le +3 « passe » à droite en −3 parce que tu as soustrait 3 des deux côtés. Tant que tu hésites, écris l'opération complète sur chaque ligne.
Quelle différence entre résoudre une équation et la mettre en équation ?
Mettre en équation, c'est traduire un problème écrit par une égalité avec une inconnue. Résoudre, c'est ensuite trouver la valeur de l'inconnue. Ce cours traite la résolution ; la mise en équation est la suite logique, puisqu'il faut savoir résoudre pour conclure un problème.
Pourquoi ne peut-on pas diviser par zéro dans une équation ?
Parce que diviser par 0 n'a pas de sens. De plus, multiplier par 0 ferait disparaître l'information : 0×x=0×5 est vrai pour tout x. On ne multiplie ni ne divise donc que par un nombre non nul.