Mettre un problème en équation : cours de 4e

Un problème de maths est souvent écrit avec des phrases : « Paul a 4 ans de plus qu'Inès », « le périmètre vaut 38 cm », « le prix total est de 14 € ». Pour le résoudre, tu ne peux pas calculer directement : une valeur est cachée. Tu as déjà appris à résoudre des équations du premier degré. Il reste une étape : fabriquer l'équation à partir de l'énoncé. C'est exactement ce que fait la mise en équation.

En 4e, le programme demande de savoir se servir du calcul littéral pour mettre en équation et résoudre des problèmes, avec des équations du premier degré à une inconnue. ⁴ Tu dois aussi savoir introduire une lettre pour désigner une valeur inconnue. ¹

Résoudre un problème par une équation se fait en plusieurs temps. Le premier, la mise en équation, traduit l'énoncé. ² Ensuite viennent la résolution, puis l'interprétation du résultat. ² Chaque temps a son rôle, et sauter l'un d'eux est la source de la plupart des erreurs.

Il s'agit de décider quelle quantité de l'énoncé sera notée par une lettre. ⁴ Dans les problèmes simples, on choisit directement ce que la question demande. ⁴ Dans un problème plus délicat, un autre choix peut rendre l'équation plus simple à écrire. ⁴

C'est le cœur de la mise en équation proprement dite : exprimer toutes les données utiles du problème en fonction de l'inconnue, pour arriver à une équation. ⁴ Il faut « parler » les équations : traduire chaque morceau de phrase en une expression. ²

Pour écrire l'équation, il faut trouver deux façons d'exprimer la même quantité, ou une relation donnée par l'énoncé : « le total vaut 40 », « le périmètre est égal à 38 cm », « les deux montants sont les mêmes ». Cette relation devient le signe $=$ de l'équation.

Une fois l'équation écrite, tu la résous avec la méthode vue pour les équations du premier degré : tu isoles l'inconnue en faisant la même opération des deux côtés du signe $=$. Pour $3x + 7 = 40$ :

$\begin{aligned} 3x + 7 &= 40 \\ 3x &= 40 - 7 \\ 3x &= 33 \\ x &= 11 \end{aligned}$

Le programme attend que tu saches interpréter le résultat. ² Cela signifie répondre à la question posée, pas seulement donner la valeur de $x$. Parfois, $x$ n'est pas ce qu'on demande : si $x$ est la largeur et que la question porte sur la longueur, il reste un calcul à faire.

Le choix de l'inconnue n'est pas toujours unique. Dans les problèmes plus complexes, on peut choisir une inconnue qui simplifie les équations à résoudre. ⁴ Reprenons le problème des âges : on peut aussi prendre pour $x$ l'âge de Paul. Inès a alors $x - 4$ ans, et l'équation devient $x + (x - 4) = 24$, soit $x = 14$. On retrouve les mêmes âges : seule la lettre a changé de rôle.