Pyramide et cône : cours de 4e

Au cycle 4, le programme te demande de reconnaître plusieurs solides : le pavé droit, le cube, le prisme droit, le cylindre, la pyramide et le cône ². Tu connais déjà les quatre premiers. Ce cours se concentre sur les deux derniers.

Pyramide et cône se ressemblent : tous deux se terminent en pointe. Ils partagent aussi une propriété de volume, que tu rencontreras plus loin dans ce cours. Pour t'en servir, tu dois savoir les reconnaître, nommer leurs éléments et lire leur représentation en perspective.

Ces formes ne sont pas réservées aux livres de maths. La pyramide du Louvre et les pyramides égyptiennes sont citées dans le programme comme liens possibles avec la culture et l'histoire ². Parmi les pyramides d'Égypte, celle de Khéops est probablement la plus célèbre ⁵. Ces monuments aident à se représenter le solide : une base posée au sol, et une pointe tout en haut.

Dans la langue courante, le mot « pyramide » évoque souvent une base carrée ⁴, comme pour les monuments égyptiens, dont la base est carrée sauf exception ⁵. En exercice, en revanche, on ne devine jamais la forme de la base : on la lit dans l'énoncé ou sur la figure.

Le sommet de la pyramide se nomme aussi apex : c'est son point le plus élevé quand la base est posée sur le sol ⁵.

Une pyramide à base carrée possède 5 sommets : les quatre de la base et le sommet principal ⁵. Ce comptage se généralise à toutes les pyramides. Il suffit de raisonner sur la base.

Cette régularité rend le solide très symétrique. Les faces latérales sont toutes superposables, donc il suffit de calculer l'aire d'une seule d'entre elles pour connaître les autres.

Le mot « régulière » ne dit pas que toutes les faces sont des triangles équilatéraux. Les faces latérales sont isocèles, et elles ne sont équilatérales que dans des cas particuliers. Certaines pyramides à base carrée ou pentagonale peuvent d'ailleurs être construites avec toutes leurs faces régulières ⁴.

Le cône est à la pyramide ce que le cylindre est au prisme : sa base n'est plus un polygone, mais un disque. Une pyramide a des faces planes et des arêtes. Un cône possède une face plane, son disque de base, et une surface courbe qui se resserre jusqu'au sommet.

Un cornet de glace ou un chapeau de fête donnent une bonne idée du cône. En architecture, la pyramide et le cône sont réputés évoquer la masse ⁵.

Le programme demande de reconnaître des solides à partir d'un objet réel, d'une image ou d'une représentation ¹. Voici comment faire pour la pyramide et le cône.

Autre compétence du programme : identifier le patron d'une pyramide ². Le patron est la figure plane que l'on découpe puis que l'on plie pour obtenir le solide. Pour une pyramide, il comprend la base et les triangles des faces latérales, souvent collés chacun à un côté de la base. Le programme donne l'exemple de pyramides inscrites dans un cube ².

Pour savoir si un patron convient, compte d'abord les triangles : il en faut autant que de côtés de la base. Imagine ensuite le pliage : chaque côté de la base doit rencontrer un triangle, et les triangles doivent se refermer autour du sommet sans se chevaucher. Un triangle peut être collé à un autre triangle plutôt qu'à la base. Pour un cône, on obtient un disque de base et une portion de disque pour la partie courbe.

Le facteur $\frac{1}{3}$ a une explication géométrique. Pour une pyramide à base carrée dont la hauteur vaut la moitié du côté de la base, six pyramides identiques s'assemblent autour d'un point central pour former un cube ⁴. Chaque pyramide représente donc un sixième du cube. Le produit « aire de la base × hauteur » vaut la moitié du volume du cube, soit trois fois le volume d'une pyramide ⁴. Voilà d'où vient le tiers.

Une pyramide occupe donc, à base et hauteur égales, trois fois moins de place qu'un prisme droit de même base. Le calcul détaillé fait l'objet de la page suivante sur les volumes.