Division de relatifs : cours de 4e

Tu sais déjà additionner, soustraire et multiplier des nombres relatifs. Il reste une opération à maîtriser : la division. Les nombres relatifs servent à représenter des grandeurs qui peuvent passer sous zéro, comme une température, un solde bancaire ou une altitude.¹ Très vite, on a besoin de partager ou de comparer ces grandeurs.

Imagine une température qui chute de 18 °C en 4 heures, de façon régulière. Pour savoir de combien elle baisse en une heure, il faut calculer $(-18) \div 4$. Le résultat sera lui aussi un nombre relatif.

Au cycle 4, on étudie le quotient d'un entier relatif par un entier relatif, en lien avec les notions de multiple et de diviseur.² Dans ce cours, tu vas apprendre :

• à relier la division à la multiplication ;
• à trouver le signe d'un quotient sans te tromper ;
• à calculer un quotient en deux temps : la valeur absolue, puis le signe ;
• à traiter les cas particuliers (le zéro) ;
• à éviter les erreurs les plus courantes.

Avec des nombres positifs, diviser $12$ par $3$, c'est chercher le nombre qui, multiplié par $3$, donne $12$. C'est $4$, car $4 \times 3 = 12$.

Cette idée ne change pas avec les relatifs. Elle est même le point de départ de toute la leçon : diviser, c'est trouver le facteur manquant d'un produit.

Les trois exemples précédents montrent un motif. Regardons-le de plus près, en nous appuyant sur la règle du produit. Deux relatifs de même signe ont un produit positif, deux relatifs de signes différents ont un produit négatif.⁶

Or le quotient $q$ de $a$ par $b$ vérifie $q \times b = a$. Le signe de $a$ est donc le signe du produit de $q$ et de $b$. On en déduit le signe de $q$ :

• si $a$ et $b$ ont le même signe, le produit $q \times b$ a le même signe que $b$ ; $q$ doit donc être positif ;
• si $a$ et $b$ ont des signes différents, $q$ et $b$ doivent avoir des signes différents ; $q$ est donc négatif.

Pour calculer un quotient, on travaille en deux temps. D'abord on s'occupe de la partie numérique, avec des nombres positifs que tu sais déjà diviser. Ensuite on place le signe. La valeur absolue d'un quotient est le quotient des valeurs absolues.³

Un quotient s'écrit souvent sous forme de fraction. Le trait de fraction signifie « divisé par ». La notion de fraction vue au cycle 3 s'étend ensuite aux nombres relatifs en écriture fractionnaire.¹ On a donc :

$\frac{a}{b} = a \div b$

Pour une fraction dont le numérateur ou le dénominateur est négatif, la règle des signes reste la même.

Quand la division ne « tombe pas juste », deux écritures sont possibles : une fraction simplifiée, ou une valeur décimale si elle existe. Par exemple, $(-18) \div 4$ s'écrit $-\dfrac{18}{4} = -\dfrac{9}{2}$, ou encore $-4{,}5$.

Si la valeur décimale n'existe pas, comme pour $(-10) \div 3$, on garde la fraction $-\dfrac{10}{3}$. C'est le quotient exact. Une valeur arrondie comme $-3{,}33$ est seulement une approximation, et on ne doit pas l'écrire avec un signe égal.

Dans un calcul qui ne contient que des multiplications et des divisions, on effectue les opérations de gauche à droite. À chaque étape, on applique la règle des signes à deux nombres.

On peut aussi gagner du temps en comptant les facteurs négatifs. Chaque facteur négatif change le signe une fois. Le résultat est donc :

• positif si le nombre de facteurs négatifs est pair (0, 2, 4…) ;
• négatif si ce nombre est impair (1, 3, 5…).