Publié le 11 novembre 2026 · Mis à jour le 11 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
Un produit se calcule en deux temps : on multiplie les distances à zéro, puis on choisit le signe.5
Deux facteurs de même signe donnent un produit positif ; deux facteurs de signes contraires donnent un produit négatif.5
Pour plusieurs facteurs négatifs : un nombre pair de facteurs négatifs donne un produit positif, un nombre impair un produit négatif.
Les facteurs peuvent être regroupés et déplacés (commutativité, associativité), et la distributivité reste valable.6
Piège classique : confondre −3×4 (produit) avec −3+4 (somme), ou oublier un signe moins entre parenthèses.
Pourquoi apprendre à multiplier des relatifs ?
Jusqu'ici, tu as appris à additionner et à soustraire des nombres relatifs. Les nombres relatifs ont d'ailleurs été introduits pour rendre possibles toutes les soustractions.1 Il reste maintenant à savoir les multiplier. Cette compétence fait partie de ce qu'on attend d'un élève de 4e : effectuer des produits et des quotients avec des nombres décimaux relatifs.2
Dans ce cours, tu vas répondre à trois questions simples. Comment trouve-t-on le signe d'un produit ? Comment calcule-t-on sa valeur sans le signe ? Que se passe-t-il quand il y a beaucoup de facteurs ? À la fin, tu sauras calculer sans hésiter des expressions comme (−4)×(−2,5)×3.
Pour avancer, tu as besoin de savoir ce qu'est un nombre relatif (un nombre muni d'un signe + ou −), de savoir placer un nombre sur une droite graduée et de savoir multiplier des nombres positifs, ce que tu fais depuis l'école primaire.
Rappels : produit, facteurs et addition répétée
Avec des nombres entiers positifs, une multiplication peut se voir comme une addition répétée : « 3 fois 4 » représente la somme de trois nombres égaux à 4.6 On écrit :
3×4=4+4+4=12
Le produit s'écrit avec le signe ×. Quand un facteur est négatif, on l'écrit entre parenthèses : 3×(−4) se lit « trois fois moins quatre ».
Cette idée d'addition répétée fonctionne quand le premier facteur est un entier positif. C'est le point de départ, et c'est la manière dont le programme introduit la multiplication de relatifs : d'abord le cas où un seul des facteurs est négatif.1 Pour les autres cas, il faut une règle générale, que tu vas découvrir dans la suite.
Un seul facteur négatif : le produit est négatif
Prenons une situation concrète. La température d'une chambre froide baisse de 2 °C chaque heure. Au bout de 5 heures, la variation totale est la somme de cinq variations de −2 :
5×(−2)=(−2)+(−2)+(−2)+(−2)+(−2)=−10
La température a baissé de 10 °C. Le produit d'un nombre positif par un nombre négatif est donc négatif.
Deux facteurs négatifs : la règle des signes
Que vaut (−3)×(−4) ? Aucune addition répétée ne permet de le voir directement : on ne peut pas ajouter un nombre « moins trois fois ». Le programme propose de s'appuyer sur la distributivité pour traiter ce cas.1
Voici un raisonnement qui le montre. Considérons le calcul suivant, qui vaut zéro :
(−3)×(4+(−4))=(−3)×0=0
Développons avec la distributivité :
(−3)×4+(−3)×(−4)=0
On sait que (−3)×4=−12. Il faut donc que −12+(−3)×(−4)=0. Le seul nombre qui, ajouté à −12, donne 0 est 12. Donc :
(−3)×(−4)=12
Démonstration · Pourquoi moins fois moins donne plus
On part de (−3)×0=0, puis on écrit 0=4+(−4).
(−3)×(4+(−4))=0.
Par distributivité : (−3)×4+(−3)×(−4)=0.
Comme (−3)×4=−12, on obtient −12+(−3)×(−4)=0.
Donc (−3)×(−4) est l'opposé de −12, c'est-à-dire 12.
Le même raisonnement marche avec n'importe quels nombres : il n'est pas propre à −3 et −4.
La règle des signes pour un produit
Facteurs
Signe du produit
Même signe : $+ \times +$ ou $- \times -$
Positif
Signes contraires : $+ \times -$ ou $- \times +$
Négatif
Un facteur nul
Le produit vaut 0
La règle des signes pour un produit · Le signe d'un produit de deux facteurs dépend uniquement de leurs signes.
Produit de plusieurs facteurs
Quand il y a plus de deux facteurs, on multiplie de gauche à droite en appliquant la règle des signes à chaque étape, ou bien on cherche directement le signe du résultat. La multiplication est associative : on peut regrouper les facteurs comme on veut.6
Propriétés et astuces de calcul
Ces propriétés ne sont pas des règles à réciter : ce sont des outils qui rendent les calculs plus rapides.
Commutativité : on peut changer l'ordre des facteurs.
Associativité : on peut les regrouper comme on veut.
Distributivité : k×(a+b)=k×a+k×b.
Erreurs fréquentes et méthode complète
Exercices corrigés
Exercice 1 Produit de quatre facteurs
★☆☆Environ 5 min
Calcule P=(−4)×(−2,5)×(−3)×2.
Indice 1
Compte d'abord les facteurs négatifs pour trouver le signe.
Indice 2
Regroupe (−4)×(−2,5) : le résultat est un nombre rond.
Voir la correction pas à pas
Il y a trois facteurs négatifs : −4, −2,5 et −3. Ce nombre est impair, donc le produit est négatif.
On multiplie les distances à zéro : 4×2,5=10.
Puis 10×3=30.
Puis 30×2=60.
Avec le signe négatif : P=−60.
Le produit vaut −60. Le comptage des facteurs négatifs a donné le signe avant tout calcul.
Exercice 2 Une température qui baisse
★★☆Environ 8 min
À midi, il fait 4 °C. Pendant les 5 heures suivantes, la température varie de −3 °C chaque heure. Quelle est la température au bout des 5 heures ?
Indice 1
La variation totale est le produit du nombre d'heures par la variation horaire.
Indice 2
Ajoute cette variation totale à la température de départ.
Voir la correction pas à pas
La variation horaire est −3 °C, sur 5 heures.
La variation totale vaut 5×(−3)=−15 °C, car les signes sont contraires.
La température finale est 4+(−15)=−11 °C.
La température au bout de 5 heures est de −11 °C. On a multiplié pour la variation totale, puis additionné pour la température finale.
Exercice 3 Calculer avec la distributivité
★★★Environ 10 min
Calcule E=(−8)×(12+(−5)) de deux façons : en calculant la parenthèse d'abord, puis avec la distributivité. Donne la valeur de E.
Indice 1
Pour la première méthode, calcule 12+(−5).
Indice 2
Pour la seconde, développe : (−8)×12+(−8)×(−5).
Voir la correction pas à pas
Première méthode : 12+(−5)=7.
Puis E=(−8)×7=−56 (signes contraires).
Seconde méthode : E=(−8)×12+(−8)×(−5).
(−8)×12=−96 (signes contraires) et (−8)×(−5)=40 (même signe).
E=−96+40=−56.
Les deux méthodes donnent le même résultat : E=−56.
Les deux méthodes concordent : E=−56. La distributivité reste valable avec les relatifs, à condition de soigner chaque signe.
Quiz
6 questions · correction immédiate · ton score reste sur ton appareil.
Les deux facteurs sont négatifs, donc de même signe : le produit est positif, et 9×4=36. La réponse −36 vient de la règle de l'addition appliquée par erreur. Les réponses −13 et 13 viennent de la confusion avec une somme.
Il y a trois facteurs négatifs, un nombre impair : le produit est négatif. Il vaut −120. Il n'est pas positif, car le 4 est positif et ne change pas le signe. Il n'est pas nul, car aucun facteur n'est nul.
Les deux facteurs sont de signes contraires, donc le produit est négatif. Attention : si l'un des facteurs valait 0, le produit vaudrait 0, qui n'est ni positif ni négatif.
Les facteurs sont de même signe, le produit est positif. Les distances à zéro donnent 12×0,5=6. Le résultat est donc 6, et pas −6 : deux facteurs négatifs ne donnent jamais un produit négatif.
Le premier produit a deux facteurs négatifs (pair) : il est positif, il vaut 21. Le troisième en a quatre (pair) : il vaut 1. Le deuxième a des signes contraires, il vaut −10. Le quatrième n'a qu'un facteur négatif (impair), il vaut −4.
Un nombre multiplié par lui-même a deux facteurs de même signe : le produit est positif, 5×5=25. La réponse −25 correspond à −5×5, c'est-à-dire à un autre calcul. Les réponses −10 et 10 viennent d'une addition.
Les questions qu'on se pose
Pourquoi moins fois moins donne-t-il plus ?
On le justifie avec la distributivité. Comme (−3)×(4+(−4))=0, on a (−3)×4+(−3)×(−4)=0. Puisque (−3)×4=−12, il faut que (−3)×(−4) vaille 12 pour que la somme soit nulle. C'est ainsi que le programme propose d'établir le cas de deux facteurs négatifs.1
Comment savoir vite le signe d'un long produit ?
Compte les facteurs négatifs. Si leur nombre est pair, le produit est positif ; s'il est impair, il est négatif. Si l'un des facteurs est nul, le produit est nul et ce comptage ne sert à rien.
Quelle différence entre $(-3) \times (-4)$ et $-3 \times 4$ ?
Dans le premier cas, il y a deux facteurs négatifs : le produit est positif et vaut 12. Dans le second, seul le 3 est négatif et le 4 est positif : le produit vaut −12. Le signe moins placé devant un nombre fait partie de ce nombre : c'est pour cela que les parenthèses aident à lire.
Les propriétés de la multiplication des entiers positifs restent-elles vraies avec les relatifs ?
Oui : la multiplication est commutative, associative et distributive pour l'addition.6 Une seule chose change : multiplier par un nombre négatif retourne l'ordre de deux nombres, alors que multiplier par un entier strictement positif le conserve.6