Publié le 12 novembre 2026 · Mis à jour le 12 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
Le contraire d'un événement A est celui qui se réalise exactement quand A ne se réalise pas ; on le note A.2
Un événement et son contraire sont incompatibles : ils ne peuvent pas arriver ensemble.2
Leurs probabilités ont pour somme 1, donc p(A)=1−p(A).5
Le calcul par le contraire est très pratique pour les formules « au moins », « pas », « autre que ».2
Piège : deux événements incompatibles ne sont pas toujours contraires ; il faut aussi que leurs probabilités fassent 1.5
Pourquoi parler d'événement contraire ?
Tu lances un dé et tu espères faire 6. Si tu ne fais pas 6, tu as fait 1, 2, 3, 4 ou 5. Ces cinq résultats forment un événement à part entière : celui de la déception. Il porte un nom en mathématiques, l'événement contraire.
Dans ce cours, tu vas apprendre à le reconnaître, à écrire sa probabilité en une ligne et à t'en servir pour gagner du temps. Tu as déjà vu comment calculer une probabilité ; on s'appuie directement dessus.
Le programme de cycle 4 demande d'employer le vocabulaire des probabilités dans des situations concrètes : expérience aléatoire, issue, évènement.1 Il demande aussi de calculer la probabilité d'un évènement et celle de l'évènement contraire.1 C'est exactement l'objet de cette page.
Définition de l'événement contraire
Autrement dit, à chaque fois que tu fais l'expérience, un et un seul des deux événements A et A a lieu. Il n'y a pas de troisième possibilité, et ils ne peuvent pas se produire ensemble.
Le vocabulaire des ensembles : intersection, réunion, ensemble vide
Pour bien comprendre le lien entre A et A, il faut un peu de langage d'ensembles. Le programme demande de savoir définir le complémentaire, la réunion, l'intersection et l'ensemble vide, qui correspond à un évènement impossible.1
Événements incompatibles et événements contraires
Cette propriété a une réciproque fausse, et c'est un piège classique. Deux événements incompatibles ne sont pas forcément contraires. Ce qui distingue les contraires, c'est que la somme de leurs probabilités vaut 1.5
Décrire AFormule l'événement demandé avec précision.
Écrire le contraireMets « ne pas » devant et simplifie la phrase.
Calculer p(contraire)Compte ses issues et divise par le total.
Conclurep(A) = 1 − p(contraire), résultat entre 0 et 1.
Calculer une probabilité par le contraire · Les quatre étapes de la méthode par le contraire.
La probabilité de l'événement contraire
Démonstration · Pourquoi cette formule est-elle logique ?
Prenons le cas où toutes les issues ont la même chance, avec n issues possibles en tout.
Si A contient k issues, alors p(A)=nk.
Chaque issue est soit dans A, soit dans A, jamais dans les deux. Donc A contient n−k issues.
Ainsi p(A)=nn−k=nn−nk=1−p(A).
On retrouve bien le résultat. Une autre façon de le voir : comme A et A sont incompatibles, on additionne leurs probabilités pour obtenir celle de « A ou A », événement qui contient toutes les issues et dont la probabilité est 1.5
Quand utiliser le contraire pour calculer plus vite
Parfois, calculer directement la probabilité d'un événement est long, alors que celle de son contraire se trouve d'un coup d'œil. Il est parfois plus simple de commencer par calculer la probabilité de l'événement contraire.2 Les formulations avec « au moins », « autre que » ou « ne pas » sont de bons indices.
Rédiger une solution complète
Au collège, une bonne rédaction compte autant que le résultat. Voici un modèle à imiter, avec les phrases à écrire.
Exercices corrigés
Exercice 1 Le contraire d'un tirage de dé
★☆☆Environ 5 min
On lance un dé équilibré à six faces. Soit A l'événement « obtenir 6 ».
Décris l'événement contraire A par une phrase, puis liste ses issues.
Calcule p(A) puis p(A) sous forme de fraction.
Donne p(A) arrondie à 0,01 près.
Indice 1
Le contraire se décrit avec « ne pas ».
Indice 2
Utilise p(A)=1−p(A).
Voir la correction pas à pas
A est « ne pas obtenir 6 » ; ses issues sont 1, 2, 3, 4 et 5.
Le dé est équilibré donc les six issues ont la même probabilité : p(A)=61.
On calcule p(A)=1−61=65.
Vérification en comptant les issues : 5 issues sur 6, soit 65. Les deux méthodes concordent.
En décimal, 65≈0,83.
La probabilité de ne pas obtenir 6 est 65, soit environ 0,83.
Exercice 2 Billes dans un sac
★★☆Environ 8 min
Un sac contient 12 billes indiscernables au toucher : 5 rouges, 4 vertes et 3 bleues. On tire une bille au hasard.
Quelle est la probabilité de tirer une bille rouge ?
En utilisant l'événement contraire, calcule la probabilité de ne pas tirer une bille rouge.
Vérifie ce résultat en comptant directement les billes qui ne sont pas rouges.
Indice 1
Il y a 12 issues équiprobables.
Indice 2
Les billes non rouges sont les vertes et les bleues.
Voir la correction pas à pas
Les billes sont indiscernables, donc les 12 issues ont la même probabilité.
Il y a 5 billes rouges : p(rouge)=125.
L'événement « ne pas tirer rouge » est le contraire de « tirer rouge », donc sa probabilité est 1−125=1212−125=127.
Vérification directe : 4+3=7 billes ne sont pas rouges, soit 127.
En décimal, 127≈0,583.
La probabilité de ne pas tirer une bille rouge est 127, soit environ 58,3%.
Exercice 3 La loterie de la kermesse
★★★Environ 10 min
Lors d'une kermesse, 200 billets de loterie sont vendus. Parmi eux, 8 billets sont gagnants. Tu achètes un billet au hasard.
Quelle est la probabilité que ton billet soit gagnant ? Donne-la en pourcentage.
Quelle est la probabilité que ton billet soit perdant ? Donne-la en pourcentage.
Les événements « gagnant » et « perdant » sont-ils contraires ? Justifie avec la somme de leurs probabilités.
Indice 1
Écris d'abord la fraction, puis convertis en pourcentage.
Indice 2
Une somme égale à 1 est la marque de deux événements contraires.
Voir la correction pas à pas
Les 200 billets ont la même chance d'être tirés : on est en équiprobabilité.
p(gagnant)=2008=0,04, soit 4%.
Le billet perdant est le contraire du billet gagnant : p(perdant)=1−0,04=0,96, soit 96%.
Contrôle en comptant : 200−8=192 billets perdants, et 200192=0,96.
La somme 0,04+0,96=1 : chaque billet est soit gagnant, soit perdant, et jamais les deux. Les deux événements sont bien contraires.
Ton billet a 4% de chances d'être gagnant et 96% d'être perdant ; ces deux événements sont contraires.
Quiz
8 questions · correction immédiate · ton score reste sur ton appareil.
Les issues paires sont 2, 4 et 6 ; le contraire regroupe toutes les autres issues, c'est-à-dire 1, 3 et 5 : les nombres impairs. « Obtenir 1 » est seulement une partie de ces issues, donc ce n'est pas le contraire complet.
On applique p(A)=1−p(A)=1−0,27=0,73. Écrire 0,27−1 donnerait un nombre négatif, ce qui est impossible pour une probabilité.
C'est faux. Avec un dé, « obtenir 1 » et « obtenir 6 » sont incompatibles, mais la somme de leurs probabilités est 31 et non 1. Pour être contraires, il faut en plus que la somme fasse 1.5
p(cœur)=328=41, donc la probabilité de ne pas tirer un cœur vaut 1−41=43. La réponse 41 est la probabilité de tirer un cœur, pas son contraire. La fraction 824 dépasse 1, ce qui est impossible.
Ne pas pleuvoir est le contraire de pleuvoir : 100%−40%=60%. La réponse 140% vient d'une addition au lieu d'une soustraction et dépasse la valeur maximale d'une probabilité. La réponse 0,6% vient d'une confusion entre 0,6 et 60%.
Un événement et son contraire n'ont aucune issue commune, donc ils sont incompatibles, et la somme de leurs probabilités vaut 1.25 La troisième proposition est fausse : si A est très rare, son contraire est très probable. La quatrième est fausse puisque l'intersection est vide.
Il y a 3 multiples de 5 (5, 10 et 15) : p=153=51. Le contraire a donc pour probabilité 1−51=54. La réponse 51 est la probabilité de tirer un multiple de 5, pas celle de son contraire.
« Au moins 3 » regroupe 3, 4, 5 et 6. Le contraire contient les issues restantes : 1 et 2, c'est-à-dire obtenir strictement moins de 3. La réponse « 1, 2 ou 3 » inclut le 3, qui est déjà dans l'événement de départ.
Les questions qu'on se pose
Comment savoir quand utiliser l'événement contraire ?
Cherche les mots « ne pas », « autre que », « au moins un » dans l'énoncé. Si le contraire contient moins d'issues à compter que l'événement lui-même, passe par lui. Il est parfois plus simple de commencer par la probabilité du contraire.2
Quelle est la différence entre événements incompatibles et événements contraires ?
Deux événements incompatibles n'ont aucune issue commune. Deux événements contraires sont incompatibles et leurs probabilités ont pour somme 1.5 Tout couple de contraires est incompatible, mais l'inverse est faux : « obtenir 1 » et « obtenir 6 » au dé sont incompatibles sans être contraires.
Une probabilité peut-elle être négative ou supérieure à 1 ?
Non. Une probabilité reste comprise entre 0 et 1 (ou entre 0% et 100%). Si ton calcul de 1−p(A) donne un résultat négatif ou supérieur à 1, tu as sans doute inversé la soustraction ou mal converti un pourcentage.
Que vaut la probabilité de l'événement impossible ?
L'événement impossible est l'ensemble vide.1 Aucune issue ne le réalise, donc sa probabilité est 0. Son contraire contient toutes les issues et a pour probabilité 1.
Faut-il toujours écrire le contraire dans une rédaction ?
Oui, dès que tu l'utilises : nomme l'événement, écris la phrase de son contraire, calcule sa probabilité, puis conclus avec 1−p. Ces étapes montrent ton raisonnement et évitent les contresens sur « au moins ».