Frises et pavages : cours de 4e

Regarde un carrelage, une bordure de mur ou le motif d'un tissu. Une même forme revient, encore et encore, et rien ne dépasse. Les mathématiques savent décrire ces dessins avec les transformations que tu connais déjà : la translation et la symétrie axiale.

L'art des frises est très ancien : on en trouve en Grèce, chez les Celtes ou chez les Vikings ². Les pavages servent eux aussi de décor depuis l'Antiquité, notamment en architecture ⁵. Le programme de 4e te demande de construire des frises, des pavages et des rosaces, parfois avec un logiciel de géométrie dynamique ¹.

Dans ce cours, tu vas apprendre à :

• distinguer une frise d'un pavage ;
• repérer le motif de base et la maille ;
• décrire les translations qui engendrent le dessin ;
• relier tout cela aux parallélogrammes.

Imagine une longue bande de papier. Tu dessines une petite figure au début, puis tu la recopies à côté, puis encore à côté, jusqu'au bout de la bande. Tu obtiens une frise. Elle se prolonge sans fin dans une seule direction, celle de la bande, et dans les deux sens.

La frise se prolonge toujours de la même façon. Si tu coupes un morceau, tu peux le décaler le long de la bande et il se superpose au morceau voisin.

Le motif de base est la figure de départ, la plus simple. La maille peut être plus riche que le motif de base : elle peut contenir le motif et son « retourné ». Pour retrouver la structure d'une frise, on procède dans cet ordre :

1. repérer la maille qui revient par translation ;
2. à l'intérieur, retrouver le motif de base ².

Pour fabriquer des frises variées, on utilise deux transformations. La translation fait avancer le motif le long de la bande. La symétrie axiale retourne le motif comme dans un miroir. Une activité classique consiste à tracer un motif de base et son retourné par symétrie axiale, puis à construire plusieurs frises à partir de ces deux dessins ².

Attention : on a le droit de choisir l'axe de la symétrie. Un axe horizontal, au milieu de la bande, renverse le motif de haut en bas. Un axe vertical le renverse de gauche à droite.

Là où la frise remplit une bande, le pavage remplit toute la surface. Les pièces s'appellent des pavés, des carreaux ou des tuiles. Elles se touchent par leurs bords et ne se recouvrent jamais.

Certains pavages n'utilisent qu'une seule forme de pavé ². Il existe aussi des pavages où l'on retrouve plusieurs formes différentes ².

Dans une frise, une seule translation suffit pour passer d'une maille à la suivante. Dans un pavage périodique, il en faut deux, de directions différentes. On part du motif de base, on le répète dans une direction, puis on répète toute la ligne obtenue dans l'autre direction. Les exercices officiels demandent justement de décrire les deux translations qui donnent le pavage à partir du motif de base ¹.

Les pavages périodiques sont connus depuis l'Antiquité et ont souvent servi de décor en architecture ⁵. Les mosaïques de l'Alhambra de Grenade en donnent de superbes exemples ⁵.

Le programme fait un lien direct entre les translations rencontrées dans les frises et les pavages et le parallélogramme ³. Voici pourquoi.

Si une translation envoie $A$ en $B$ et $D$ en $C$, alors les segments $[AB]$ et $[DC]$ sont parallèles et de même longueur, de même sens. Le quadrilatère $ABCD$ est donc un parallélogramme. Réciproquement, dans un parallélogramme $ABCD$, la translation qui transforme $A$ en $B$ transforme aussi $D$ en $C$.