Symétries et translations : cours de 4e

Quand tu retournes un motif sur une feuille calque, quand tu fais glisser un dessin sur l'écran d'un ordinateur ou quand tu regardes un papier peint, tu observes des transformations du plan. Le programme du cycle 4 demande de comprendre l'effet d'une translation, d'une symétrie axiale, d'une symétrie centrale, d'une rotation et d'une homothétie sur une figure.¹

Dans ce cours, tu te concentres sur trois d'entre elles : la symétrie axiale, la symétrie centrale et la translation. Tu as déjà rencontré la translation avant ce chapitre. Ici, tu la mets en relation avec les deux symétries, et tu apprends à les construire, à les reconnaître et à t'en servir pour raisonner.

Pour chaque transformation, trois questions reviennent toujours :

• Qu'est-ce qui définit la transformation (un axe, un centre, deux points) ?
• Comment construire l'image d'un point, puis d'une figure ?
• Qu'est-ce qui ne change pas entre la figure et son image ?

Rappelle-toi ce que signifie « médiatrice » : c'est la droite qui coupe le segment en son milieu et qui lui est perpendiculaire. Donc, si M' est le symétrique de M par rapport à (d), alors :

• la droite (MM') est perpendiculaire à (d) ;
• le milieu de [MM'] est sur (d).

La symétrie axiale est connue depuis le cycle 3, ce qui explique que tu l'aies déjà beaucoup pratiquée.¹

Ici, il n'y a plus d'axe : tout se passe autour d'un seul point, le centre. Le centre O est son propre symétrique, car il est déjà « au milieu ». Pour tout autre point M, les trois points M, O et M' sont alignés, et OM = OM'.

Le programme travaille la symétrie centrale dès le début du cycle 4, en liaison avec le parallélogramme.¹ Un parallélogramme possède un centre de symétrie : l'intersection de ses diagonales. Chaque sommet a pour symétrique le sommet opposé.

On parle de « la translation qui transforme A en A' ». Le trajet de A vers A' suffit : il donne la direction, le sens et la longueur du glissement. Chaque point de la figure se déplace exactement comme A.

On rencontre souvent cette idée avec les frises et les pavages, où un motif se répète en glissant.⁴ Prends une frise : si tu passes d'un motif au suivant, c'est toujours le même glissement qui s'applique.³

Cela signifie que la figure image est une copie exacte de la figure de départ : même forme, mêmes dimensions, simplement déplacée. Un triangle de périmètre 12 cm a pour image un triangle de périmètre 12 cm. Un angle de 40° reste un angle de 40°. Trois points alignés ont des images alignées.

Les symétries axiale et centrale conservent elles aussi les longueurs, les angles, les aires et le parallélisme : la figure image a la même forme et les mêmes dimensions que la figure de départ.⁶ Retiens surtout cette conséquence pratique : si une figure est un carré, un rectangle ou un parallélogramme, son image est du même type, avec les mêmes codages.

Voici une façon concrète de t'en convaincre. Prends deux centres O et O' et un point M. La première symétrie envoie M en M1, avec O milieu de [MM1]. La seconde envoie M1 en M2, avec O' milieu de [M1M2]. Dans le triangle MM1M2, le segment [OO'] relie les milieux de deux côtés : il est donc parallèle au troisième côté [MM2] et deux fois plus court que lui. Le déplacement de M à M2 vaut donc deux fois le déplacement de O à O', quel que soit M : c'est bien un glissement de même direction, même sens et même longueur pour tous les points, donc une translation.

Ce raisonnement utilise la propriété de la droite des milieux dans un triangle. Le glissement obtenu est parallèle à la droite (OO').