Symétries et translations : exercices corrigés de 4e

Par définition de la symétrie centrale, O est le milieu de [AA'].

Notons $x$ l'abscisse de $A'$. L'abscisse du milieu est la moyenne : $\dfrac{3+x}{2}=1$.

On multiplie par 2 : $3+x=2$, donc $x=-1$.

On vérifie avec l'ordonnée : $\dfrac{5+y}{2}=2$ donne $y=-1$. Donc $A'(-1\,;\,-1)$.

La droite $(d)$ est la médiatrice de $[MM']$. Elle coupe donc $[MM']$ perpendiculairement, en son milieu $I$.

La distance de $M$ à la droite $(d)$ est la longueur $MI$, soit $3{,}5$ cm.

Comme $I$ est le milieu, $IM'=MI=3{,}5$ cm.

Donc $MM'=MI+IM'=3{,}5+3{,}5=7$ cm.

Dans le triangle $ABC$, la somme des angles vaut $180^\circ$. Donc $\widehat{C}=180-48-67=65^\circ$.

Une translation conserve les angles. ³

L'angle $\widehat{C'}$ est donc égal à l'angle $\widehat{C}$.

On obtient $\widehat{C'}=65^\circ$.

La translation est définie par A et A'. ²

Pour aller de $A$ à $A'$, l'abscisse passe de 1 à 4 : on avance de $+3$. L'ordonnée passe de 2 à $-1$ : on se déplace de $-3$.

Tous les points subissent le même déplacement. Pour $M(0\,;\,5)$ : abscisse $0+3=3$, ordonnée $5-3=2$.

Donc $M'(3\,;\,2)$.

Comme $ABC$ est rectangle en $A$, ses côtés $[AB]$ et $[AC]$ sont perpendiculaires : l'un est la base, l'autre la hauteur.

Aire de $ABC$ : $\dfrac{6\times 8}{2}=24$ cm².

Une translation conserve les aires. ³

L'aire de $A'B'C'$ est donc aussi $24$ cm².

Une rotation d'angle $180^\circ$ est une symétrie centrale. ³

Donc $O$ est le milieu de $[AA']$.

Notons $x$ l'abscisse de $A'$ : $\dfrac{-2+x}{2}=1$, donc $-2+x=2$ et $x=4$.

Pour l'ordonnée : $\dfrac{4+y}{2}=1$ donne $y=-2$. Ainsi $A'(4\,;\,-2)$.

La droite est la médiatrice de $[MM']$ : le milieu de $[MM']$ est sur la droite $x=1$, et $(MM')$ est perpendiculaire à l'axe. ⁶

Un axe vertical est perpendiculaire à une droite horizontale : $M$ et $M'$ ont la même ordonnée, 3.

Pour l'abscisse $x'$ de $M'$ : $\dfrac{4+x'}{2}=1$, donc $x'=-2$. Ainsi $M'(-2\,;\,3)$.

Les deux points sont sur la même horizontale : $MM'=4-(-2)=6$ cm.

Pour aller de $A$ à $B$, l'abscisse augmente de $5-2=3$ et l'ordonnée change de $1-3=-2$.

On applique ce déplacement à $C(-1\,;\,4)$ : $C'(-1+3\,;\,4-2)=(2\,;\,2)$.

$O$ est le milieu de $[C'C'']$. ⁶ Les coordonnées de $C''$ sont donc les opposées de celles de $C'$ : $\dfrac{2+x}{2}=0$ donne $x=-2$.

Ainsi $C''(-2\,;\,-2)$.

On forme un triangle rectangle de côtés de l'angle droit $5-2=3$ cm et $5-1=4$ cm. Par le théorème de Pythagore : $AB=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$ cm.

La symétrie centrale est la rotation d'angle $180^\circ$. ³

Une rotation conserve les longueurs. ³

Donc $A'B'=AB=5$ cm.