Volumes et contenances : cours de 5e

Quand tu remplis un aquarium, quand tu choisis une boîte pour ranger des jouets ou quand tu lis « 33 cL » sur une canette, tu parles toujours de la même idée : la place occupée par quelque chose dans l'espace. Au cycle 3, tu as commencé à relier cette idée à la notion de contenance ³. En 5e, on va plus loin : on calcule des volumes de solides que tu connais déjà (pavé droit, prisme droit, cylindre) et on exprime le résultat dans l'unité qui convient ².

Mesurer une grandeur, c'est choisir une unité puis compter combien de fois cette unité (ou des fractions de cette unité) entre dans la grandeur ³. Pour un volume, l'unité de départ est un cube : on se demande combien de petits cubes identiques on peut ranger dans le solide.

L'unité internationale de volume est le mètre cube, noté m³ ⁴. C'est le volume d'un cube de 1 m d'arête. On en déduit d'autres unités avec les préfixes habituels : le décimètre cube (dm³), le centimètre cube (cm³), etc. ⁴.

Pour les liquides, on utilise surtout le litre, noté L. C'est l'unité de contenance dérivée la plus utilisée ⁴. Pour de faibles contenances, on emploie le millilitre : 1 mL = 0,001 L, donc 1 L = 1 000 mL ⁴. On rencontre aussi le centilitre (cL) et le décilitre (dL) : $1\ \text{L} = 100\ \text{cL} = 10\ \text{dL}$.

De ces égalités, on déduit une autre très utile. Comme $1\ \text{L} = 1\ \text{dm}^3 = 1\,000\ \text{cm}^3$ et comme $1\ \text{L} = 1\,000\ \text{mL}$, on obtient :

$1\ \text{mL} = 1\ \text{cm}^3$

Une petite cuillère de sirop contient donc quelques centimètres cubes de liquide.

Commençons par le solide le plus simple. Pour déterminer le volume d'un pavé droit, on peut se ramener à un dénombrement d'unités, c'est-à-dire à un comptage de cubes de taille adaptée ³. Prenons un pavé de 4 cm de long, 3 cm de large et 2 cm de haut, et remplissons-le de cubes de 1 cm d'arête :

• sur le fond, on range 4 cubes en longueur et 3 en largeur : $4 \times 3 = 12$ cubes ;
• on empile 2 couches identiques : $12 \times 2 = 24$ cubes.

Le volume du pavé est donc 24 cm³.

Le cas du cube d'arête $c$ en découle : les trois dimensions sont égales, donc $V = c \times c \times c = c^3$. Tu peux aussi écrire la formule du pavé ainsi : $V = \text{aire de la base} \times \text{hauteur}$, car $L \times l$ est l'aire du rectangle de base. Cette écriture va servir pour les autres solides.

Le programme de 5e fait calculer le volume d'un pavé droit, d'un prisme droit et d'un cylindre ². Ces trois solides ont un point commun : ils sont formés de « tranches » toutes identiques à la base, empilées sur une hauteur. Le volume s'obtient donc en multipliant la surface d'une tranche par le nombre de tranches, c'est-à-dire par la hauteur.

Les attendus de 5e incluent aussi le volume d'un assemblage de solides, avec un résultat exprimé dans l'unité adaptée ². La méthode est simple : on découpe l'objet en solides connus, on calcule chaque volume, puis on additionne (ou on soustrait si un morceau est creusé).